Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 658811
i

Опре­де­ли­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние

4 x в квад­ра­те минус 8 |x| плюс левая круг­лая скоб­ка 2 a плюс |x| плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = 4

имеет ровно два раз­лич­ных корня.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим два слу­чая рас­кры­тия мо­ду­ля. Для x мень­ше 0 по­лу­ча­ем:

4x в квад­ра­те плюс 8x плюс 4a в квад­ра­те =4 рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс 2x плюс a в квад­ра­те =1 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = 2 минус a в квад­ра­те рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 минус a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та минус 1, x = минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 минус a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та минус 1. конец со­во­куп­но­сти .

Най­ден­ные корни су­ще­ству­ют и раз­лич­ны, если минус ко­рень из 2 мень­ше a мень­ше ко­рень из 2 . Мень­ший ко­рень от­ри­ца­те­лен при всех таких а, и по­то­му оба най­ден­ных корня от­ри­ца­тель­ны, если

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 минус a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та минус 1 мень­ше 0 рав­но­силь­но 0 мень­ше 2 минус a в квад­ра­те мень­ше 1 рав­но­силь­но 1 мень­ше a в квад­ра­те мень­ше 2 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше a мень­ше минус 1, 1 мень­ше a мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . конец со­во­куп­но­сти .

При a = \pm ко­рень из 2 урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень x = минус 1. Если ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 минус a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та минус 1 боль­ше 0, то есть если минус 1 мень­ше a мень­ше 1, урав­не­ние имеет един­ствен­ный от­ри­ца­тель­ный ко­рень. При a = \pm 1 урав­не­ние имеет ко­рень x= минус 2 и по­сто­рон­ний ко­рень x=0.

Для x боль­ше или равно 0 по­лу­ча­ем:

4x в квад­ра­те минус 8x плюс левая круг­лая скоб­ка 2a плюс 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =4 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 2x плюс a в квад­ра­те плюс 2ax плюс x в квад­ра­те =1 рав­но­силь­но 2x в квад­ра­те минус 2x левая круг­лая скоб­ка 1 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка плюс a в квад­ра­те минус 1 = 0.

Дис­кри­ми­нант этого урав­не­ния равен минус a в квад­ра­те минус 2a плюс 3. При a=1 урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень x=0, при a= минус 3 урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень x=2. Квад­рат­ное урав­не­ние имеет два корня по­ло­жи­тель­ных корня, если

левая фи­гур­ная скоб­ка \beginarrayl минус 3 мень­ше a мень­ше 1 1 минус a боль­ше 0 a в квад­ра­те минус 1 боль­ше 0\endarray. рав­но­силь­но минус 3 мень­ше a мень­ше минус 1.

Квад­рат­ное урав­не­ние имеет один по­ло­жи­тель­ный ко­рень и один ко­рень, рав­ный нулю, если

левая фи­гур­ная скоб­ка \beginarrayl минус 3 мень­ше a мень­ше 1 1 минус a мень­ше 0 a в квад­ра­те минус 1 = 0\endarray. рав­но­силь­но a = минус 1.

Квад­рат­ное урав­не­ние имеет два корня раз­ных зна­ков, если a в квад­ра­те минус 1 мень­ше 0, то есть если минус 1 мень­ше a мень­ше 1.

Изоб­ра­зим ко­ли­че­ство кор­ней для каж­до­го слу­чая рас­кры­тия мо­ду­лей на ри­сун­ке. Из ри­сун­ка видно, что ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно два раз­лич­ных корня приa при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 3; минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 1; ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус 3; минус ко­рень из 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 1; ко­рень из 2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, но до­пу­щен не­до­чет3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, при этом верно вы­пол­не­ны все шаги ре­ше­ния,

ИЛИ

в ре­ше­нии верно най­де­ны все гра­нич­ные точки мно­же­ства зна­че­ний па­ра­мет­ра, но не­вер­но опре­де­ле­ны про­ме­жут­ки зна­че­ний

2
В слу­чае ана­ли­ти­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к на­бо­ру ре­шен­ных урав­не­ний и не­ра­венств с уче­том тре­бу­е­мых огра­ни­че­ний,

ИЛИ

в слу­чае гра­фи­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к ис­сле­до­ва­нию вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния линий (изоб­ра­же­ны не­об­хо­ди­мые фи­гу­ры, учте­ны огра­ни­че­ния, ука­за­на связь ис­ход­ной за­да­чи с по­стро­ен­ны­ми фи­гу­ра­ми)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 464
Классификатор алгебры: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025