В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 4, a боковое ребро равно 2. Через точку пересечения диагоналей грани AA1BB1 и середину ребра СС1 проходит плоскость α под углом 45° к плоскости основания призмы, пересекающая сторону ВС.
а) Докажите, что плоскость α проходит через середину М ребра ВС.
б) Найдите угол между плоскостями α и AB1M.
а) Пусть точка O — центр грани AA1BB1, точка N — середина CC1. Пусть плоскость α пересекает прямую AB в точке P, а ребро BC — в точке T. Точки O, N, P, T лежат в одной плоскости. Прямая ON параллельна плоскости ABC, следовательно, прямая ON параллельна прямой PT. Прямая ON перпендикулярна плоскости AA1BB1, поэтому плоскость α перпендикулярна AA1BB1 и плоскость ABC перпендикулярна плоскости AA1BB1. Значит, 
Пусть Q — точка пересечения плоскости α и ребра A1B1. Точка K принадлежит стороне AB, прямая QK параллельна ребру AA1. Следовательно, 
откуда
Пусть точка H — середина ребра AB. Тогда отрезки CH, OH и PT параллельны между собой. Значит, 
следовательно, по теореме Фалеса 
Таким образом, точки T и M совпадают.
б) Вопользуемся методом координат. Точка M — начало координат, оси направлены так, как показано на рисунке. Найдем координаты точек:
Запишем уравнение плоскости AB1M: 
где
откуда 
Запишем уравнение плоскости α: 
где
откуда 
Косинус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между перпендикулярными к ним векторами: 
и 
Следовательно,
Ответ: б) 
Примечание.
В авторской формулировке этого задания не было сказано, что плоскость α пересекает сторону основания ВС. Дмитрий Сузан обратил наше внимание на то, что без этого условия утверждение неверно: в действительности имеется две плоскости, проходящие через прямую ON и составляющие с плоскостью основания угол 45°. Одна из них рассмотрена выше, другая не пересекает стороны основания.
Есть еще вторая плоскость, проходящая через точки O, N и середину
под углом 45° к основанию. Но она не проходит через середину BC.