Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 510947
i

Точка О  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. На про­дол­же­нии от­рез­ка AO за точку О от­ме­че­на точка K так, что \angle BAC плюс \angle AKC={90 гра­ду­сов.

а)  До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник OBKC впи­сан­ный.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KBC, если из­вест­но, что ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка АBC равен 12, а ко­си­нус \angle BAC=0,6.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть \angle A= альфа , тогда \angle BOC=2 альфа ,\angle BOH= альфа , где H  — про­ек­ция О на BC. По­это­му \angle OBH =90 гра­ду­сов минус альфа . Из усло­вия \angle BAC плюс \angle AKC=90 гра­ду­сов, сле­ду­ет, что \angle AKC=90 гра­ду­сов минус альфа . Тогда \angle OBH=\angle AKC (опи­ра­ют­ся на хорду ОС). Тогда по при­зна­ку, свя­зан­ным со свой­ством впи­сан­ных углов, точки О, В, К, С лежат на одной окруж­но­сти, ч. т. д.

б)   ко­си­нус \angle BAC=0,6, тогда синус \angle BAC=0,8. Рас­смот­рим \Delta ABC: дробь: чис­ли­тель: BC, зна­ме­на­тель: синус \angle BAC конец дроби =2R,BC=2 умно­жить на 12 умно­жить на 0,8=19,2. Из пунк­та а) \angle A= альфа ,\angle BOC=2 альфа , тогда \angle BKC=180 гра­ду­сов минус 2 альфа , так как че­ты­рех­уголь­ник OBKC впи­сан­ный. синус левая круг­лая скоб­ка 180 гра­ду­сов минус 2 альфа пра­вая круг­лая скоб­ка = синус 2 альфа =2 синус альфа умно­жить на ко­си­нус альфа , тогда синус \angle BKC=2 умно­жить на 0,8 умно­жить на 0,6=0,96. Рас­смот­рим тре­уголь­ник KBC:

дробь: чис­ли­тель: BC, зна­ме­на­тель: синус \angle BKC конец дроби =2R, R= дробь: чис­ли­тель: 19,2, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 0,96 конец дроби =10.

 

Ответ:10.

 

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 509123.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: Проб­ный ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке Ки­ров­ско­го рай­о­на Санкт-Пе­тер­бур­га, 2015. Ва­ри­ант 2
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025