Ре­ше­ние. а)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Б)  Отбор кор­ней про­из­ве­дем с по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти.

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды тра­пе­ция ABCD, точки K, L, M и N  — ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ля­ров опу­щен­ных из вер­ши­ны пи­ра­ми­ды S на сто­ро­ны ос­но­ва­ния. SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Тогда пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки SOK, SOL, SOM и SON равны по ка­те­ту SO и остро­му углу (ли­ней­но­му углу дву­гран­но­го угла между ос­но­ва­ни­ем и бо­ко­вой гра­нью рав­но­му 60^o). Сле­до­ва­тель­но, OK  =  OL  =  OM  =  ON и точка O яв­ля­ет­ся цен­тром окруж­но­сти, впи­сан­ной в тра­пе­цию. Из ра­вен­ства ука­зан­ных тре­уголь­ни­ков будет сле­до­вать, что каж­дая точка вы­со­ты рав­но­уда­ле­на от бо­ко­вых гра­ней пи­ра­ми­ды. Оста­лось на вы­со­те SO найти точку, рав­но­уда­лен­ную и от бо­ко­вых гра­ней, и от ос­но­ва­ния. Оче­вид­но, что та­ко­вой будет яв­лять­ся точка G  — пе­ре­се­че­ние вы­со­ты SO c бис­сек­три­сой од­но­го из углов ука­зан­ных тре­уголь­ни­ков, на­при­мер, SMO (все бис­сек­три­сы углов этих тре­уголь­ни­ков, в силу ра­вен­ства, будут пе­ре­се­кать SO в одной точке). Таким об­ра­зом, су­ще­ство­ва­ние не­об­хо­ди­мой точки до­ка­за­но.

б)  По усло­вию тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, а по до­ка­зан­но­му в пунк­те а) в нее можно впи­сать окруж­ность. По­это­му, ее бо­ко­вые сто­ро­ны вы­со­та а ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти Зна­чит, пло­щадь тра­пе­ции

Те­перь вы­чис­лим апо­фе­мы бо­ко­вых гра­ней Тогда пло­щадь по­верх­но­сти

Ответ: б) 468.

Ре­ше­ние. Най­дем огра­ни­че­ния на x.

В даль­ней­шем мы будем рас­смат­ри­вать за­дан­ное не­ра­вен­ство толь­ко на мно­же­стве

Спо­соб 1.

За­ме­тим, что на M сле­до­ва­тель­но, а это зна­чит, что на M пра­вая часть не­ра­вен­ства не­от­ри­ца­тель­на при всех зна­че­ни­ях

Рас­смот­рим 2 слу­чая:

Если т. е. то за­дан­ное не­ра­вен­ство будет вы­пол­не­но при всех Это  — часть ис­ко­мо­го ре­ше­ния.

Если же т. е. то имеет место си­сте­ма не­ра­венств:

Фак­ти­че­ски мы по­лу­чи­ли дру­гую часть ре­ше­ния. Объ­еди­нив их, будем иметь ре­ше­ния ис­ход­но­го не­ра­вен­ства:

Спо­соб 2.

На M:

при или при (но есть одно из ре­ше­ний ис­ход­но­го не­ра­вен­ства.

Коли оно уже най­де­но, то для на­хож­де­ния дру­гих ре­ше­ний обе части не­ра­вен­ства раз­де­лим на и решим не­ра­вен­ство Ре­ше­ние будем вести на M ме­то­дом ра­ци­о­на­ли­за­ции.

За­ме­тим, что на M сле­до­ва­тель­но,

С уче­том мно­же­ства M:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му так:

Решим урав­не­ние от­но­си­тель­но х, под­став­ляя за­дан­ное зна­че­ние у.

По­след­нее урав­не­ние будет иметь ре­ше­ние, если его чет­верть дис­кри­ми­нан­та будет не­от­ри­ца­тель­ной, т. е.

При таких зна­че­ни­ях а

Те­перь рас­смот­рим не­ра­вен­ство на мно­же­стве

Слу­чай 1.

С уче­том того, что по­лу­чим:

Слу­чай 2.

С уче­том того, что имеем:

Ясно, что при каж­до­му зна­че­нию пе­ре­мен­ной х будет со­от­вет­ство­вать впол­не опре­де­лен­ное зна­че­ние пе­ре­мен­ной у.

За­ме­ча­ния:

1.   При пе­ре­хо­де из за­дан­ной в пре­об­ра­зо­ван­ную си­сте­му вклю­чать в си­сте­му не­ра­вен­ство на­доб­но­сти нет, по­сколь­ку вы­пол­не­ние усло­вия уже обес­пе­чит по­ло­жи­тель­ный знак левой части ра­вен­ства

2.  Не­труд­но за­ме­тить, что при а = 3,25 си­сте­ма будет иметь одно ре­ше­ние, а при 3 < a < 3,25  — два ре­ше­ния. Од­на­ко такой де­та­ли­за­ции за­да­ча не тре­бу­ет. Такая де­та­ли­за­ция может счи­тать­ся даже из­бы­точ­ной.

Ответ:

Ре­ше­ние.

Пусть лифт оста­но­вит­ся на этаже номер k. Тогда k − 2 че­ло­ве­ка долж­ны будут спу­стить­ся вниз. Их не­удо­воль­ствия со­став­ля­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с пер­вым чле­ном 1 и раз­но­стью 1, сумма ко­то­рой равна Под­нять­ся вверх долж­ны будут 18 − k че­ло­век. Их не­удо­воль­ствия со­став­ля­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с пер­вым чле­ном 2 и раз­но­стью 2, сумма ко­то­рой равна

Общая сумма не­удо­воль­ствий со­ста­вит

Функ­ция пред­став­ля­ет собой па­ра­бо­лу, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх, сле­до­ва­тель­но, ми­ни­маль­но­го зна­че­ния функ­ция до­сти­га­ет в своей вер­ши­не

Учи­ты­вая, что k  — целое, и |12 − k₀|>|13 − k₀|, по­лу­чим k  =  13.

Таким об­ра­зом, сумма всех не­удо­воль­ствий будет наи­мень­шей, если лифт оста­но­вит­ся на три­на­дца­том этаже.

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. Из вто­ро­го усло­вия си­сте­мы: Под­ста­вив это зна­че­ние в пер­вое усло­вие, по­лу­чим:

За­ме­тим, что число 3 яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния сле­до­ва­тель­но,

(При

Ме­то­дом ин­тер­ва­лов най­дем ре­ше­ния не­ра­вен­ства (*). Ими ока­жут­ся эле­мен­ты мно­же­ства

Решив урав­не­ние по­лу­чим: или Не­труд­но за­ме­тить, что в со­от­вет­ствии с (**) долж­ны вы­пол­нять­ся усло­вия:

т. е.

т. е.

Также за­ме­тим, что не­ра­вен­ства не вы­пол­ни­мы ни при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра а.

Итак, мы по­лу­чи­ли, что за­дан­ная си­сте­ма при зна­че­ни­ях имеет ровно одно ре­ше­ние, рав­ное а при зна­че­ни­ях   — еще одно ре­ше­ние, рав­ное Од­на­ко, так как то ис­ко­мы­ми зна­че­ни­я­ми па­ра­мет­ра а будут толь­ко эле­мен­ты мно­же­ства.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  На­пи­шем любое такое число, на­при­мер, 9876543210. Для него зна­ко­че­ре­ду­ю­ща­я­ся сумма его цифр равна По­ме­ня­ем те­перь ме­ста­ми цифры 8 и 5. Тогда зна­ко­че­ре­ду­ю­ща­я­ся сумма его цифр уве­ли­чит­ся на и ста­нет равна 11. Таким об­ра­зом, го­дит­ся число

б)  Сумма цифр на­ше­го числа равна 45, по­это­му зна­ко­че­ре­ду­ю­ща­я­ся сумма его цифр не может быть чет­ной. Кроме того зна­ко­че­ре­ду­ю­ща­я­ся сумма его цифр по мо­ду­лю не пре­вос­хо­дит Зна­чит, она равна 11 (если само число де­лит­ся на 11). Зна­чит, сумма цифр, сто­я­щих на чет­ных ме­стах равна 28, а на не­чет­ных ме­стах - равна 17, или на­о­бо­рот. Чтобы сде­лать число мак­си­маль­ным, пусть число имеет вид тогда сумма цифр, сто­я­щих на не­чет­ных ме­стах может быть равна толь­ко 28 (т. к. 9+7+5=21 уже боль­ше 17). По­лу­ча­ем, что Те­перь ясно, что ис­ко­мое число это

(цифры 0,1,2 на 6ю,8ю,10ю по­зи­цию рас­ста­ви­ли так, чтобы мак­си­ми­зи­ро­вать число, тоже с циф­ра­ми 4 и 3 на 7й и 9й по­зи­ци­ях).

в)  Рас­суж­да­ем ана­ло­гич­но пунк­ту б). Пусть число имеет вид (с нуля число на­чи­нать­ся не может). Зна­ко­че­ре­ду­ю­ща­я­ся сумма пер­вых че­ты­рех цифр равна 0, тогда, так как сумма по­след­них 6 цифр равна 39, по­лу­ча­ет­ся, что или на­о­бо­рот. Но это не­воз­мож­но, так как даже

Пусть число имеет вид По­лу­ча­ем два ва­ри­ан­та: или Пер­вый ва­ри­ант не­воз­мо­жен ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му, вто­рой ва­ри­ант по­лу­ча­ет­ся толь­ко если (рас­став­ля­ем эти цифры так, чтобы ми­ни­ми­зи­ро­вать число). В итоге, по­лу­ча­ет­ся число

Ответ: а) 9576843210; б) 9876524130; в) 1024375869.