Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д12 C3 № 508180
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство  дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 плюс x минус x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: \log _2 левая круг­лая скоб­ка 5 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 плюс x минус x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: \log _2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем огра­ни­че­ния на x.

 си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка x в квад­ра­те минус x минус 6 мень­ше или равно 0 , новая стро­ка 2x минус 5 мень­ше 0 , новая стро­ка 2x минус 5 не равно 1 , новая стро­ка x плюс 4 боль­ше 0 , новая стро­ка x плюс 4 не равно 1 новая стро­ка конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка минус 2 мень­ше или равно x мень­ше или равно 3 , новая стро­ка x мень­ше 2,5 , новая стро­ка x не равно 2 , новая стро­ка x боль­ше минус 4 , новая стро­ка x не равно минус 3 новая стро­ка конец си­сте­мы . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний  новая стро­ка минус 2 мень­ше или равно мень­ше 2 , новая стро­ка 2 мень­ше x мень­ше 2,5 . конец со­во­куп­но­сти .

В даль­ней­шем мы будем рас­смат­ри­вать за­дан­ное не­ра­вен­ство толь­ко на мно­же­стве M= левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2;2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2;2,5 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Спо­соб 1.

За­ме­тим, что на M x плюс 4 боль­ше или равно 2, сле­до­ва­тель­но, \log _2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 1, а это зна­чит, что на M пра­вая часть не­ра­вен­ства не­от­ри­ца­тель­на при всех зна­че­ни­ях x при­над­ле­жит M.

Рас­смот­рим 2 слу­чая:

Если \log _2 левая круг­лая скоб­ка 5 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0, т. е. 5 минус 2x мень­ше 1 рав­но­силь­но 2x боль­ше 4 рав­но­силь­но x боль­ше 2, то за­дан­ное не­ра­вен­ство будет вы­пол­не­но при всех x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 2;2,5 пра­вая круг­лая скоб­ка . Это  — часть ис­ко­мо­го ре­ше­ния.

Если же \log _2 левая круг­лая скоб­ка 5 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, т. е. x мень­ше 2, то имеет место си­сте­ма не­ра­венств:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка минус 2 мень­ше или равно x мень­ше 2 , новая стро­ка \log _2 левая круг­лая скоб­ка 5 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно \log _2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка минус 2 мень­ше или равно x мень­ше 2 , новая стро­ка 5 минус 2x боль­ше или равно x плюс 4 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка минус 2 мень­ше или равно x мень­ше 2 , новая стро­ка 3x мень­ше или равно 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка минус 2 мень­ше или равно x мень­ше 2 , новая стро­ка x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби  конец си­сте­мы . рав­но­силь­но минус 2 мень­ше или равно x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Фак­ти­че­ски мы по­лу­чи­ли дру­гую часть ре­ше­ния. Объ­еди­нив их, будем иметь ре­ше­ния ис­ход­но­го не­ра­вен­ства:  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2;2,5 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Спо­соб 2.

На M:  дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 плюс x минус x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: \log _2 левая круг­лая скоб­ка 5 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 плюс x минус x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: \log _2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 плюс x минус x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: \log _2 левая круг­лая скоб­ка 5 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: \log _2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0.

 

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 плюс x минус x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те боль­ше или равно 0. ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 плюс x минус x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те =0 при x= минус 2 или при x=3 (но 3\notin M пра­вая круг­лая скоб­ка . минус 2 есть одно из ре­ше­ний ис­ход­но­го не­ра­вен­ства.

Коли оно уже най­де­но, то для на­хож­де­ния дру­гих ре­ше­ний обе части не­ра­вен­ства раз­де­лим на  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 плюс x минус x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те и решим не­ра­вен­ство  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: \log _2 левая круг­лая скоб­ка 5 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: \log _2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 0. Ре­ше­ние будем вести на M ме­то­дом ра­ци­о­на­ли­за­ции.

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: \log _2 левая круг­лая скоб­ка 5 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: \log _2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: \log _2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус \log _2 левая круг­лая скоб­ка 5 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: \log _2 левая круг­лая скоб­ка 5 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на \log _2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: x плюс 4 минус 5 плюс 2x, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 5 минус 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 3x минус 1, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0.

За­ме­тим, что на M x плюс 3 боль­ше 0, сле­до­ва­тель­но,

 дробь: чис­ли­тель: x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , зна­ме­на­тель: x минус 2 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний  новая стро­ка x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , новая стро­ка x боль­ше 2 . конец со­во­куп­но­сти .

С уче­том мно­же­ства M:  при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2;2,5 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ:  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2;2,5 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 103
Классификатор алгебры: Ир­ра­ци­о­наль­ные не­ра­вен­ства
Методы алгебры: Ра­ци­о­на­ли­за­ция не­ра­венств
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: