ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 16 № 645666 Добавить в вариант

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1500 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

—  в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-⁠то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

—  в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

—  к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2300 тысяч рублей. Сколько рублей составит долг в июле 2030 года?

Спрятать решение

Решение.

Пусть долг в июле 2030 года составит 5S тыс. руб., тогда в первые пять лет долг должен уменьшаться на $дробь: числитель: 1500 минус 5S, знаменатель: 5 конец дроби =300 минус S$ тыс. руб., а в следующие пять лет  — на S тыс. руб. Составим таблицу.

Год	Долг в январе (после начисления процентов), тыс. руб.	Выплата, тыс. руб.	Долг в июле, тыс. руб.
2025			1500
2026	$1,1 умножить на 1500$	$1,1 умножить на 1500 минус левая круглая скобка 1200 плюс S правая круглая скобка$	$1200 плюс S$
2027	$1,1 левая круглая скобка 1200 плюс S правая круглая скобка$	$1,1 умножить на левая круглая скобка 1200 плюс S правая круглая скобка минус левая круглая скобка 900 плюс 2S правая круглая скобка$	$900 плюс 2S$
2028	$1,1 левая круглая скобка 900 плюс 2S правая круглая скобка$	$1,1 умножить на левая круглая скобка 900 плюс 2S правая круглая скобка минус левая круглая скобка 600 плюс 3S правая круглая скобка$	$600 плюс 3S$
2029	$1,1 левая круглая скобка 600 плюс 3S правая круглая скобка$	$1,1 левая круглая скобка 600 плюс 3S правая круглая скобка минус левая круглая скобка 300 плюс 4S правая круглая скобка$	$300 плюс 4S$
2030	$1,1 левая круглая скобка 300 плюс 4S правая круглая скобка$	$1,1 левая круглая скобка 300 плюс 4S правая круглая скобка минус 5S$	$5S$
2031	$1,1 умножить на 5S$	$1,1 умножить на 5S минус 4S$	$4S$
...	...	...	...
2034	$1,1 умножить на 2S$	$1,1 умножить на 2S минус S$	$S$
2035	$1,1 умножить на S$	$1,1 умножить на S минус 0$	$0$

Выплаты в первые пять лет представляют собой арифметическую прогрессию, найдём их сумму:

$B_2026 минус 2030=$
$= \underbrace1,1 умножить на 1500 минус левая круглая скобка 1200 плюс S правая круглая скобка _1 минус я выплата плюс \underbrace1,1 умножить на левая круглая скобка 1200 плюс S правая круглая скобка минус левая круглая скобка 900 плюс 2S правая круглая скобка _2 минус я выплата плюс \underbrace1,1 умножить на левая круглая скобка 900 плюс 2S правая круглая скобка минус левая круглая скобка 600 плюс 3S правая круглая скобка _3 минус я выплата плюс \underbrace1,1 левая круглая скобка 600 плюс 3S правая круглая скобка минус левая круглая скобка 300 плюс 4S правая круглая скобка _4 минус я выплата плюс \underbrace1,1 левая круглая скобка 300 плюс 4S правая круглая скобка минус 5S_5 минус я выплата=$
$= дробь: числитель: 1,1 умножить на 1500 минус левая круглая скобка 1200 плюс S правая круглая скобка плюс 1,1 левая круглая скобка 300 плюс 4S правая круглая скобка минус 5S, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5=$
$= дробь: числитель: 780 минус 1,6S, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 = левая круглая скобка 390 минус 0,8S правая круглая скобка умножить на 5 = 1950 минус 4S .$

Выплаты в последние пять лет также представляют собой арифметическую прогрессию, найдём их сумму:

$B_2031 минус 2035= \underbrace1,1 умножить на 5S минус 4S_6 минус я выплата плюс ... плюс \underbrace1,1 умножить на 2S минус S_9 минус я выплата плюс \underbrace1,1 умножить на S_10 минус я выплата =$
$= дробь: числитель: 1,1 умножить на 5S минус 4S плюс 1,1 умножить на S, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 = дробь: числитель: 2,6S, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 = 6,5S.$ $B_2031 минус 2035=$
$= \underbrace1,1 умножить на 5S минус 4S_6 минус я выплата плюс ... плюс \underbrace1,1 умножить на 2S минус S_9 минус я выплата плюс \underbrace1,1 умножить на S_10 минус я выплата =$
$= дробь: числитель: 1,1 умножить на 5S минус 4S плюс 1,1 умножить на S, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 = дробь: числитель: 2,6S, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 = 6,5S.$

Сумма всех выплат по условию равна 2300 тыс. руб., тогда

$1950 минус 4S плюс 6,5S=2300 равносильно 2,5S=350 равносильно 5S=700.$

Таким образом, долг в июле 2030 года составит 700 тыс. руб.

Ответ: 700 000.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 642781: 645666 643056 650557 Все

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 434

Классификатор алгебры: Задачи о кредитах

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь