Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 645667
i

На сто­ро­нах AB и AC тре­уголь­ни­ка ABC от­ме­че­ны точки D и E со­от­вет­ствен­но так, что B D плюс C E=B C, точка I  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка АВС.

а)  До­ка­жи­те, что точки A, E, I и D лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Точка D в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка сим­мет­рич­на точке D от­но­си­тель­но пря­мой AI. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка E D D в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка , если D в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка E=2, а ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка АВС равен дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Из усло­вия сле­ду­ет, что су­ще­ству­ет точка F на сто­ро­не BC такая, что BF  =  BD, CF  =  CE. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки DBI и FBI, тре­уголь­ни­ки ECI и FCI равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. Тогда

\angle DIE = 360 гра­ду­сов минус 2\angle FIB минус 2\angle FIC = 360 гра­ду­сов минус 2 левая круг­лая скоб­ка 180 гра­ду­сов минус \angle IFB минус \angle FBI пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 левая круг­лая скоб­ка 180 гра­ду­сов минус \angle IFC минус \angle ICF пра­вая круг­лая скоб­ка =
= 360 гра­ду­сов минус 360 гра­ду­сов плюс 2\angle IFB плюс \angle ABC минус 360 гра­ду­сов плюс 2\angle IFC плюс \angle ACB =
= минус 360 гра­ду­сов плюс 2 левая круг­лая скоб­ка \angle IFB плюс \angle IBC пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 180 гра­ду­сов минус \angle BAC = 180 гра­ду­сов минус \angle BAC.

Таким об­ра­зом, че­ты­рех­уголь­ник ADIE впи­сан в окруж­ность.

б)  Из пунк­та а) сле­ду­ет, что DI  =  IE  =  IF  =  ID'. Пусть IH  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ID'E. От­ре­зок IH  — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник  ABC, тогда левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = IE в квад­ра­те минус 1 в квад­ра­те , от­ку­да IE = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 85 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Это и есть ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка EDD'.

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 85 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 434
Методы геометрии: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор планиметрии: Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тре­уголь­ни­ка
Источник/автор: Артур Анищенко
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025