Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное урав­не­ние:

б)  С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим числа:

Ответ: а) б)

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 505492.

Ре­ше­ние.

а)  В тре­уголь­ни­ке ADE сле­до­ва­тель­но, он рав­но­бед­рен­ный, углы при ос­но­ва­нии равны. Угол CAB равен 60°, зна­чит, Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ADE  — рав­но­сто­рон­ний,

б)  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AMB и они пря­мо­уголь­ные, имеют общую сто­ро­ну MB и рав­ные сто­ро­ны AB и BC, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны по двум ка­те­там, зна­чит, Рас­смот­рим тре­уголь­ник AMC, вос­поль­зо­вав­шись тео­ре­мой ко­си­ну­сов найдём ко­си­нус угла

Из тре­уголь­ни­ка ADF найдём сто­ро­ну

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник Найдём ко­си­нус угла

Из тре­уголь­ни­ка AFE найдём сто­ро­ну

Найдём ко­си­нус угла

Сле­до­ва­тель­но,

Тре­уголь­ник DFE  — ис­ко­мое се­че­ние, найдём его пло­щадь:

Ответ:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­та б.

Пусть точка K  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. Тогда FK  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABM.

Опу­стим из точки K пер­пен­ди­ку­ляр KN на пря­мую DE.

За­ме­тим, что FK па­рал­лель­на MB, сле­до­ва­тель­но, пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC. Тогда FN  —  на­клон­ная, KN  — ее про­ек­ция, и по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах FN пер­пен­ди­ку­ляр­на DE. Тогда

Ре­ше­ние. Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Пусть

От­ку­да

Ре­ше­ние пер­во­го не­ра­вен­ства:

Решим вто­рое не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов. Найдём ОДЗ вто­ро­го урав­не­ния:

Опре­де­лим знаки левой части на ОДЗ (см. рис.):

Тем самым, мно­же­ство ре­ше­ний вто­ро­го не­ра­вен­ства:

Пе­ре­се­кая ре­ше­ния обоих не­ра­венств, по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть угол Углы BAC и KHB равны, как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми. Рас­смот­рим четырёхуголь­ник BKHM сле­до­ва­тель­но, четырёхуголь­ник BKHM впи­сан в окруж­ность. Зна­чит, углы KHB и KMB  — впи­сан­ные, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу, сле­до­ва­тель­но, они равны. Таким об­ра­зом, Тре­уголь­ни­ки ABC и MBK имеют общий угол B и зна­чит, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам.

б)  Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BKH на­хо­дим, что Для тре­уголь­ни­ка ABC спра­вед­ли­во ра­вен­ство Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем: Сто­ро­ны BC и BK  — сход­ствен­ные в по­доб­ных тре­уголь­ни­ках ABC и MBK, сле­до­ва­тель­но, их ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия Найдём от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка MBK к пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка

Ответ:

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 505495.

Ре­ше­ние. Пусть тогда ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид:

Зна­чит, ре­ше­ние ис­ход­но­го урав­не­ния  — это ре­ше­ние урав­не­ний или Ис­сле­ду­ем сколь­ко ре­ше­ний имеет урав­не­ние в за­ви­си­мо­сти от a и За­пи­шем урав­не­ние в виде Левая часть этого урав­не­ния  — гра­фик мо­ду­ля с вер­ши­ной в точке гра­фик пра­вой части  — гра­фик мо­ду­ля, с вер­ши­ной в точке Это урав­не­ние может иметь одно, либо бес­ко­неч­ное мно­же­ство ре­ше­ний. Урав­не­ние будет иметь одно ре­ше­ние, если од­но­вре­мен­но пря­мая лежит выше пря­мой и пря­мая лежит ниже пря­мой либо, если од­но­вре­мен­но пря­мая лежит ниже пря­мой и пря­мая лежит выше пря­мой По­лу­ча­ем со­во­куп­ность двух си­стем урав­не­ний:

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно два ре­ше­ния, если оба урав­не­ния со­во­куп­но­сти (2) имеют по од­но­му ре­ше­нию.

Для пер­во­го урав­не­ния имеем

Для вто­ро­го урав­не­ния:

Если урав­не­ния со­во­куп­но­сти сов­па­да­ют, то тогда, даже если каж­дое из них имеет по од­но­му ре­ше­нию, то эти ре­ше­ния сов­па­дут и ис­ход­ное урав­не­ние будет иметь не два, а одно ре­ше­ние. Ис­клю­чим дан­ный слу­чай, найдём при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a урав­не­ния сов­па­да­ют:

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно два ре­ше­ния при зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть k  — ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта, про­го­ло­со­вав­ших за фут­бо­ли­ста, без учёта го­ло­са Васи. Рей­тинг фут­бо­ли­ста равен 31, от­ку­да по­лу­ча­ем двой­ное не­ра­вен­ство на

Из этого усло­вия можно найти k, но для упро­ще­ния вы­чис­ле­ний лучше найти, при каком k рей­тинг фут­бо­ли­ста будет равен 31, и убе­дить­ся, что при зна­че­ни­ях k, на еди­ни­цу мень­ших и на еди­ни­цу боль­ших, этот рей­тинг от­ли­ча­ет­ся от 31. Вос­поль­зу­ем­ся дан­ным спо­со­бом.

За­ме­тим, что рей­тинг чуть мень­ше одной тре­тьей, по­это­му ра­зум­но пред­по­ло­жить, что По­сколь­ку при рей­тинг фут­бо­ли­ста дей­стви­тель­но равен 31. Для k, рав­ных 3 и 5, по­лу­ча­ем со­от­вет­ствен­но зна­че­ния рей­тин­га 23 и 38.

Найдём рей­тинг фут­бо­ли­ста с учётом Ва­си­но­го го­ло­са:

Сле­до­ва­тель­но, рей­тинг фут­бо­ли­ста ста­нет равен 36.

б)  Такая си­ту­а­ция воз­мож­на, если за од­но­го фут­бо­ли­ста про­го­ло­со­ва­ло 0,495 че­ло­век от об­ще­го числа по­се­ти­те­лей сайта, а за вто­ро­го  — 0,505 по­се­ти­те­лей сайта. Тогда рей­тинг пер­во­го фут­бо­ли­ста будет равен 50, вто­ро­го  — 51, сум­мар­ный рей­тинг будет боль­ше 100. На­при­мер, пусть общее число про­го­ло­со­вав­ших 20 000, за пер­во­го про­го­ло­со­ва­ло 9900 че­ло­век, а за вто­ро­го  — 10 100. Тогда рей­тинг пер­во­го фут­бо­ли­ста 49,5 округ­ля­ет­ся до 50, а рей­тинг вто­ро­го  — 50,5 округ­ля­ет­ся до 51.

в)  Пусть ко­ли­че­ство про­го­ло­со­вав­ших за фут­бо­ли­ста по­се­ти­те­лей сайта с учётом го­ло­са Васи равно k, а общее ко­ли­че­ство про­го­ло­со­вав­ших с учётом го­ло­са Васи  — Тогда по­лу­ча­ем си­сте­му из двух двой­ных не­ра­венств:

За­пи­шем дан­ную си­сте­му в виде си­сте­мы четырёх не­ра­венств:

По­сколь­ку все числа в не­ра­вен­ствах целые, стро­гие не­ра­вен­ства можно за­ме­нять на не­стро­гие, вы­чи­тая из боль­ше­го еди­ни­цу. Ис­поль­зуя пер­вое и четвёртое не­ра­вен­ство, по­лу­ча­ем:

Ис­поль­зуя, что из по­след­не­го не­ра­вен­ства си­сте­мы по­лу­ча­ем:

По­сколь­ку k  — целое, то Тогда снова из пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы по­лу­ча­ем:

Сле­до­ва­тель­но,

По­ка­жем, что по­лу­чен­ная оцен­ка до­сти­га­ет­ся. При и по­лу­чим сле­до­ва­тель­но, рей­тинг будет равен 9. Без Ва­си­но­го го­ло­са сле­до­ва­тель­но, рей­тинг будет равен 7.

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее число от­дан­ных за всех фут­бо­ли­стов го­ло­сов при усло­ви­ях, при­ведённых в за­да­че равно 82.

Ответ: а)  36; б)  да; в)  82.