а)  Пусть k  — ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта, про­го­ло­со­вав­ших за фут­бо­ли­ста, без учёта го­ло­са Васи. Рей­тинг фут­бо­ли­ста равен 31, от­ку­да по­лу­ча­ем двой­ное не­ра­вен­ство на

Из этого усло­вия можно найти k, но для упро­ще­ния вы­чис­ле­ний лучше найти, при каком k рей­тинг фут­бо­ли­ста будет равен 31, и убе­дить­ся, что при зна­че­ни­ях k, на еди­ни­цу мень­ших и на еди­ни­цу боль­ших, этот рей­тинг от­ли­ча­ет­ся от 31. Вос­поль­зу­ем­ся дан­ным спо­со­бом.

За­ме­тим, что рей­тинг чуть мень­ше одной тре­тьей, по­это­му ра­зум­но пред­по­ло­жить, что По­сколь­ку при рей­тинг фут­бо­ли­ста дей­стви­тель­но равен 31. Для k, рав­ных 3 и 5, по­лу­ча­ем со­от­вет­ствен­но зна­че­ния рей­тин­га 23 и 38.

Найдём рей­тинг фут­бо­ли­ста с учётом Ва­си­но­го го­ло­са:

Сле­до­ва­тель­но, рей­тинг фут­бо­ли­ста ста­нет равен 36.

б)  Такая си­ту­а­ция воз­мож­на, если за од­но­го фут­бо­ли­ста про­го­ло­со­ва­ло 0,495 че­ло­век от об­ще­го числа по­се­ти­те­лей сайта, а за вто­ро­го  — 0,505 по­се­ти­те­лей сайта. Тогда рей­тинг пер­во­го фут­бо­ли­ста будет равен 50, вто­ро­го  — 51, сум­мар­ный рей­тинг будет боль­ше 100. На­при­мер, пусть общее число про­го­ло­со­вав­ших 20 000, за пер­во­го про­го­ло­со­ва­ло 9900 че­ло­век, а за вто­ро­го  — 10 100. Тогда рей­тинг пер­во­го фут­бо­ли­ста 49,5 округ­ля­ет­ся до 50, а рей­тинг вто­ро­го  — 50,5 округ­ля­ет­ся до 51.

в)  Пусть ко­ли­че­ство про­го­ло­со­вав­ших за фут­бо­ли­ста по­се­ти­те­лей сайта с учётом го­ло­са Васи равно k, а общее ко­ли­че­ство про­го­ло­со­вав­ших с учётом го­ло­са Васи  — Тогда по­лу­ча­ем си­сте­му из двух двой­ных не­ра­венств:

За­пи­шем дан­ную си­сте­му в виде си­сте­мы четырёх не­ра­венств:

По­сколь­ку все числа в не­ра­вен­ствах целые, стро­гие не­ра­вен­ства можно за­ме­нять на не­стро­гие, вы­чи­тая из боль­ше­го еди­ни­цу. Ис­поль­зуя пер­вое и четвёртое не­ра­вен­ство, по­лу­ча­ем:

Ис­поль­зуя, что из по­след­не­го не­ра­вен­ства си­сте­мы по­лу­ча­ем:

По­сколь­ку k  — целое, то Тогда снова из пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы по­лу­ча­ем:

Сле­до­ва­тель­но,

По­ка­жем, что по­лу­чен­ная оцен­ка до­сти­га­ет­ся. При и по­лу­чим сле­до­ва­тель­но, рей­тинг будет равен 9. Без Ва­си­но­го го­ло­са сле­до­ва­тель­но, рей­тинг будет равен 7.

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее число от­дан­ных за всех фут­бо­ли­стов го­ло­сов при усло­ви­ях, при­ведённых в за­да­че равно 82.

Ответ: а)  36; б)  да; в)  82.