Через середину бокового ребра правильной треугольной пирамиды проведена плоскость α, перпендикулярная этому ребру. Известно, что она пересекает остальные боковые рёбра и разбивает пирамиду на два многогранника, объёмы которых относятся
а) Докажите, что плоский угол при вершине пирамиды равен 45°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если боковое ребро пирамиды равно 4.
а) Пусть плоскость α проходит через точку L — cередину ребра SA — и пересекает ребра SB и SC в точках M и N соответственно. Заметим, что SLM и SLN — равные прямоугольные треугольники, следовательно, LM = LN
откуда 
следовательно,
По теореме Пифагора из треугольника SLM получаем:
Таким образом, треугольник SLM — прямоугольный и равнобедренный, а потому угол LSM равен 45°.
б) Из п. а) следует, что LM = LN = SL = 2. Запишем теорему косинусов для треугольника SBC:
то есть 
Треугольники SMN и SBC подобны. Тогда
откуда
В равнобедренном треугольнике LMN проведем высоту LH. Получаем:
Таким образом, искомая площадь сечения пирамиды плоскостью α равна
Ответ: б) 