Ре­ше­ние. a)  За­пи­шем ис­ход­ное урав­не­ние в виде:

Зна­чит, от­ку­да или Урав­не­ние кор­ней не имеет.

б)  С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим числа:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. a)  Плос­кость BCD па­рал­лель­на пря­мой KL, по­сколь­ку со­дер­жит па­рал­лель­ную ей пря­мую MN (см. рис. верх­ний). Сле­до­ва­тель­но, пря­мые KLи па­рал­лель­ны. Зна­чит, тре­уголь­ни­ки AKL и ACD по­доб­ны, от­ку­да по­лу­ча­ем:

Ана­ло­гич­но пря­мые KN и AB па­рал­лель­ны. Зна­чит, тре­уголь­ни­ки KNC и ABC по­доб­ны, от­ку­да по­лу­ча­ем:

По­сколь­ку KN  =  KL, по­лу­ча­ем:

б)  Пусть h  — вы­со­та пи­ра­ми­ды ABCD, про­ведённая из вер­ши­ны A. Тогда вы­со­та пи­ра­ми­ды KBCD, про­ведённая из вер­ши­ны K, равна по­сколь­ку

Сле­до­ва­тель­но, объём пи­ра­ми­ды KBCD равен 15.

Пи­ра­ми­ды KBCD и CKMN имеют общую вы­со­ту, про­ведённую из вер­ши­ны K. Срав­ним пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков CNM и BCD (см. рис. ниж­ний). Вы­со­ты этих тре­уголь­ни­ков, про­ведённые из вер­шин C и B со­от­вет­ствен­но, от­но­сят­ся как

а их сто­ро­ны NM и CD от­но­сят­ся как

по­сколь­ку тре­уголь­ни­ки BNM и BCD по­доб­ны. Сле­до­ва­тель­но, от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков CNM и BCD равно Зна­чит, объём пи­ра­ми­ды CKMN равен

Ответ: 6)  3,6.

Ре­ше­ние. Пусть тогда

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть сумма кре­ди­та равна S руб­лей, а еже­год­ная вы­пла­та равна x руб­лей. Каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 25%, то есть в раз. За­пол­ним таб­ли­цу.

Год (номер года)	Долг в ян­ва­ре (в руб.)	Вы­пла­та (в руб.)	Долг в июле (в руб.)
2020			S
2021 (1)	kS	x
2022 (2)		x
2023 (3)		x

Вы­ра­зим S:

Тогда, учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем:

Сумма вы­плат на 104 800 руб­лей боль­ше суммы, взя­той в кре­дит, зна­чит, При­рав­ни­вая зна­че­ния S, на­хо­дим:

Тогда сумма трёх вы­плат равна 300 000 руб­лей.

Ответ: 300 000.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть сумма кре­ди­та со­став­ля­ет S руб­лей, а еже­год­ные пла­те­жи X руб­лей. По усло­вию долг перед бан­ком (в руб­лях) по со­сто­я­нию на июль дол­жен умень­шать­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

от­ку­да

По­лу­ча­ем: S  =  195 200 руб­лей; 3X  =  300 000 руб­лей.

Ре­ше­ние. a)  Пусть O  — центр боль­шей окруж­но­сти. Линия цен­тров ка­са­ю­щих­ся окруж­но­стей про­хо­дит через точку ка­са­ния, по­это­му OK диа­метр мень­шей окруж­но­сти.

Точка A лежит на окруж­но­сти c диа­мет­ром OK, зна­чит, От­ре­зок OA  — пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный из цен­тра боль­шей окруж­но­сти на хорду, по­это­му A  — се­ре­ди­на KM. Ана­ло­гич­но B  — се­ре­ди­на KN. Тогда AB  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка KMN. Зна­чит, пря­мые AB и MN па­рал­лель­ны. Тогда

от­ку­да

б)  Ра­ди­ус боль­шей окруж­но­сти равен В преды­ду­щем пунк­те было до­ка­за­но, что

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр OH на хорду MN. Тогда H  — се­ре­ди­на MN. По­ло­жим Тогда

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OHM на­хо­дим, что

Пусть Q  — центр мень­шей окруж­но­сти. Тогда пря­мые QC и OH па­рал­лель­ны. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр OF из цен­тра боль­шей окруж­но­сти на пря­мую QC. Тогда: и

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Со­ста­вим и решим урав­не­ние:

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)  

Ре­ше­ние. Ис­ход­ное урав­не­ние рав­но­силь­но урав­не­нию

Рас­смот­рим два слу­чая.

Пер­вый слу­чай: при усло­ви­ях

По­лу­ча­ем Усло­вия при­ни­ма­ют вид

от­ку­да То есть в этом слу­чае при

Вто­рой слу­чай: при усло­вии По­лу­ча­ем:

от­ку­да Усло­вие при­ни­ма­ет вид от­ку­да То есть в этом слу­чае при

Ко­рень урав­не­ния при­над­ле­жит от­рез­ку [0; 1] при

Корни урав­не­ния и сов­па­да­ют при

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет на от­рез­ке ровно один ко­рень при и

Ответ:

Ре­ше­ние. a)  Да, может. На­при­мер, можно взять одну мо­не­ту но­ми­на­лом 1 рубль, две мо­не­ты но­ми­на­лом 2 рубля, одну мо­не­ту но­ми­на­лом 5 руб­лей и 12 монет но­ми­на­лом 10 руб­лей. С по­мо­щью этого на­бо­ра монет можно на­брать любое целое число руб­лей от 1 до 100.

б)  Нет, не может. Пред­по­ло­жим, что можно вы­брать 5 монет. Для того, чтобы за­пла­тить 3 рубля нужно ми­ни­мум две мо­не­ты (1 руб. и 2 руб.). Чтобы за­пла­тить любую сумму, не пре­вы­ша­ю­щую че­ты­рех руб­лей, нужно ми­ни­мум три мо­не­ты (1, 1 и 2 руб. или 1, 2 и 2 руб.). Если среди остав­ших­ся двух монет не более одной мо­не­ты но­ми­на­лом 10 руб., то общая сумма не пре­вы­ша­ет руб. и нель­зя за­пла­тить 21 рубль. Если среди остав­ших­ся ровно две мо­не­ты но­ми­на­лом 10 руб., то на­бо­ра­ми 1, 1, 2, 10 и 10 или 1, 2, 2, 10 и 10 нель­зя за­пла­тить 19 руб. Зна­чит, нель­зя вы­брать 5 монет.

в)  Пусть Петя взял не более 12 монет. Ана­ло­гич­но пунк­ту б) за­клю­ча­ем, что для того, чтобы за­пла­тить сумму, не пре­вы­ша­ю­щую че­ты­рех руб­лей, нужно ми­ни­мум три мо­не­ты. Тогда общая сумма не пре­вы­ша­ет 9 · 10 + 2 + 2 + 1 = 95 руб.

Если же Петя возьмёт де­вять монет по 10 руб­лей, одну мо­не­ту 5 руб­лей, две мо­не­ты по 2 рубля и одну мо­не­ту 1 рубль, то он смо­жет на­брать любую сумму от 1 до 100 руб­лей. Если пи­рож­ное стоит 100  руб­лей, то он про­сто от­даст все день­ги. Иначе пи­рож­ное стоит руб., где Тогда Петя от­даст a монет по 10  руб­лей, и, если то от­даст мо­не­ту 5  руб­лей и наберёт оста­ток мо­не­та­ми из на­бо­ра 2, 2 и 1 рубль. А иначе сразу наберёт b мо­не­та­ми из этого на­бо­ра.

Ответ: а)  да, может; б)  нет, не может; в)  13 монет.