PDF-версии: 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [−2; 3].
Решение. а) Уравнение имеет решения, только если 
то есть при 
Положим 
и при этом ограничении систему уравнений:
Заменим первое уравнение системы суммой первого и второго уравнений, находим:
Подставив найденные выражения для y во второе уравнение системы, получим совокупность:
Поскольку 
то
и
то есть 
Из оценки 
получаем
и
то есть 
б) Из п. а) следует, что
Поэтому на отрезке [−2; 3] лежит только корень 
Ответ: а) 
Приведём другое решение пункта а):
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Предоставляем читателю возможность самостоятельно решить задачу для этого случая.
тогда
млн руб.
Когда завод будет построен, фирма каждый год будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. В первый год после постройки завода цена продукции p = 9 тыс. руб. за единицу. Каждый следующий год цена продукции будет увеличиваться на 1 тыс. руб. за единицу. За сколько лет окупится строительство завода?
и 
Квадратичная функция с отрицательным коэффициентом при старшем члене достигает наибольшего значения в точке 
внесем данные в таблицу.
поскольку точка P — точка касания окружности и основания BC. Тогда отрезок MN параллелен основанию BC и 
По теореме об угле между касательной и хордой получаем, что 
Значит, 
и треугольники AKL и MAL подобны по двум углам. 
откуда 
С другой стороны, по теореме о квадрате касательной получаем, что 
поскольку точка Q — точка касания окружности с основанием AD. Тогда AL = LQ, следовательно, 
значит, AL : LD = 1 : 3.
где 
тогда любому значению x соответствует ровно одно значение t из интервала 
Получаем, что:
соответствует ровно одно значение 
из интервала (−1; 1). Тогда:
и положили 
Можно было поступить иначе: чтобы преобразовать сумму 
положим 
тогда 
а потому при каждом значении параметра, таком, что 
исходное уравнение имеет решение, причем единственное. Эскиз графика функции приведен на рисунке.
При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 20 чисел, сумма которых равна 
Пусть 
Рассмотрим разбиение числа S на 39 слагаемых, равных 
Можно считать, что слагаемые упорядочены по невозрастанию: 
Первую группу составим из k наибольших слагаемых так, чтобы 
тогда 
то есть 
и 
Полученное противоречие доказывает, что 
Поэтому сумма слагаемых во второй группе 
не удовлетворяет условию задачи. Значит, максимально возможное значение S равно 37,05.
Упорядочим слагаемые по неубыванию и будем добавлять в первую группу меньшие слагаемые, начиная с первого. При добавлении очередного слагаемого Х в первую группу сумма слагаемых в ней превысит 19. Это слагаемое из первой группы исключим и будем рассматривать отдельно, а все остальные слагаемые (большие или равные Х) поместим во вторую группу. Пусть S1 — сумма слагаемых в первой группе, S2 — сумма слагаемых во второй группе, причем 
и 
тогда 
поскольку 
Но тогда и любое слагаемое из второй группы больше 0,95. Учитывая, что 
получим, что во второй группе должно быть не более 18 слагаемых. Каждое слагаемое меньше 1, поэтому 
При 
и 
получим, что 
Это противоречит условию. Следовательно, S1 не может быть меньше 18,05: в этом случае S2 + X не превосходит 19. Отнесем Х ко второй группе, и искомое разбиение будет достигнуто.