Решим за­да­чу, ме­то­дом три­го­но­мет­ри­че­ской за­ме­ны. Под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние при­ни­ма­ет толь­ко по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния, по­это­му для всех зна­че­ний пе­ре­мен­ной

Пусть где тогда лю­бо­му зна­че­нию x со­от­вет­ству­ет ровно одно зна­че­ние t из ин­тер­ва­ла По­лу­ча­ем, что:

Най­дем мно­же­ство зна­че­ний по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния. Каж­до­му зна­че­нию t из ин­тер­ва­ла со­от­вет­ству­ет ровно одно зна­че­ние из ин­тер­ва­ла (−1; 1). Тогда:

Таким об­ра­зом, урав­не­ние имеет ре­ше­ния при

Ответ: (−10; 10).

При­ме­ча­ние.

Пер­вым шагом мы по­лу­чи­ли в зна­ме­на­те­лях вы­ра­же­ния и по­ло­жи­ли Можно было по­сту­пить иначе: чтобы пре­об­ра­зо­вать сумму по­ло­жим тогда

далее ана­ло­гич­но.

Решим за­да­чу гра­фи­че­ски.

Под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние при­ни­ма­ет толь­ко по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния, по­это­му для всех зна­че­ний пе­ре­мен­ной

Будем рас­смат­ри­вать пра­вую часть как функ­цию a(x). За­да­ча сво­дит­ся к вы­яс­не­нию мно­же­ства зна­че­ний этой функ­ции. Она опре­де­ле­на, не­пре­рыв­на и диф­фе­рен­ци­ру­е­ма при всех зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та. Най­дем про­из­вод­ную:

В силу спра­вед­ли­во­сти не­ра­венств

за­клю­ча­ем, что най­ден­ная про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на при всех зна­че­ни­ях х. Сле­до­ва­тель­но, функ­ция a(x) воз­рас­та­ет на всей чис­ло­вой пря­мой. Оста­лось вы­яс­нить пре­де­лы на бес­ко­неч­но­сти. Имеем:

Таким об­ра­зом, а по­то­му при каж­дом зна­че­нии па­ра­мет­ра, таком, что ис­ход­ное урав­не­ние имеет ре­ше­ние, при­чем един­ствен­ное. Эскиз гра­фи­ка функ­ции при­ве­ден на ри­сун­ке.

Ответ: (−10; 10).