РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 47368696

ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург. Вариант 991

а)  Решите уравнение $синус 2x минус 2 синус x плюс 2 косинус x минус 2=0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 3 Пи ; дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Точка O  — точка пересечения диагоналей грани CDD₁C₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Плоскость  DA₁C₁ пересекает диагональ  BD₁ в точке  F.

а)  Докажите, что $BF:FD_1=A_1F:FO.$

б)  Точки M и N  — середины ребер AB и AA₁, соответственно. Найдите угол между прямой  MN и плоскостью  DA₁C₁.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Решите неравенство $2 в степени x минус дробь: числитель: 240, знаменатель: 2 в степени x минус 1 конец дроби больше или равно 0.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точки 4, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежам часть долга;

—  платежи в 2027 и 2028 годах должны быть 200 тыс. руб.;

—  к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

Сколько рублей составит платёж в 2029 году?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

В треугольнике ABC точки M и N  — середины сторон AB и BC соответственно. Известно, что около четырехугольника AMNC можно описать окружность.

а)  Докажите, что треугольник ABC  — равнобедренный.

б)  На стороне AС отмечена точка F, такая что $\angle AFB=135 градусов.$ Отрезок BF пересекает отрезок MN в точке E. Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника AMNC, если $\angle ABC =120 градусов$ и $EF=6 корень из 2 .$

Решение. a)  Отрезок MN  — средняя линия треугольника ABC, значит, прямые AC и MN параллельны, а четырёхугольник AMNC является трапецией $левая круглая скобка M N меньше A C правая круглая скобка .$ Поскольку окружность можно описать только около равнобедренной трапеции, $A M=C N,$ то есть $A B=B C,$ а значит, треугольник ABC равнобедренный.

б)  Пусть точка O  — центр окружности, описанной около трапеции AMNC, точка H  — основание высоты BH треугольника ABC, а точка D  — середина отрезка NC. Угол EFC равен 45°, значит, расстояние между прямыми AC и MN равно $E F умножить на синус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =6.$ Поскольку отрезок MN  — средняя линия треугольника ABC, он делит высоту BH пополам, значит, $B H=12.$ Треугольник ABC равнобедренный, поэтому

$\angle B C A=\angle B A C= дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle A B C, знаменатель: 2 конец дроби =30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

В прямоугольном треугольнике BCH угол C равен 30°, значит,

$B C=2 B H=24 ;$ $B N= дробь: числитель: B C, знаменатель: 2 конец дроби =12,$ $N D= дробь: числитель: B C, знаменатель: 4 конец дроби =6,$ $B D=B N плюс N D=18.$

Центр описанной около многоугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к каждой из его сторон, следовательно, $\angle B D O=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ точка H лежит на прямой BO, а NO  — радиус окружности, описанной около четырёхугольника AMNC.

В прямоугольном треугольнике BDO угол OBD равен 60°, откуда находим

$O D=B D умножить на тангенс 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =18 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Из прямоугольного треугольника NDO находим

$O N= корень из: начало аргумента: O D в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс N D в квадрате правая круглая скобка =12 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

Ответ: б) $12 корень из 7 .$

Приведем решение пункта б) Ирины Шраго.

Пусть точка O  — центр окружности, описанной около трапеции AMNC, точка H  — основание высоты BH треугольника ABC. Треугольник ABC равнобедренный, тогда

$\angle BAC= дробь: числитель: 180 градусов минус \angle ABC, знаменатель: 2 конец дроби =30 градусов,$

следовательно, градусная мера дуги MNC составляет 60°, центральный угол MOC равен 60°, треугольник MOC равносторонний, значит, MC  — искомый радиус окружности.

Прямая MN параллельна AC, M  — середина AB, тогда по теореме Фалеса EF  =  BE, следовательно, $BF=2EF=12 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

∠AFB  =  135°, тогда ∠BFH  =  45° и $BH= дробь: числитель: BF, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби =12.$

Из прямоугольного треугольника ABH с углом 30° получим AB  =  2BH  =  24, тогда BM  =  12.

По доказанному в пункте а) BC  =  AB, тогда по теореме косинусов для треугольника MBC получим:

$MC в квадрате =BM в квадрате плюс BC в квадрате минус 2 умножить на BM умножить на BC умножить на косинус \angle ABC =12 в квадрате плюс 24 в квадрате плюс 2 умножить на 12 умножить на 24 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =12 в квадрате умножить на 7,$ $MC в квадрате =BM в квадрате плюс BC в квадрате минус 2 умножить на BM умножить на BC умножить на косинус \angle ABC =$
$=12 в квадрате плюс 24 в квадрате плюс 2 умножить на 12 умножить на 24 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =12 в квадрате умножить на 7,$

следовательно, $MC=12 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

Содержание критерия	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б	3
Обоснованно получен верный ответ в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	3
Максимальный балл	3

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$a в квадрате минус x в квадрате плюс 2|x| минус 1=0$

имеет ровно два различных решения.

Решение. При $x меньше или равно 0$ уравнение $a в квадрате минус x в квадрате плюс 2|x| минус 1=0$ принимает вид:

$a в квадрате минус x в квадрате минус 2 x минус 1=0 равносильно a в квадрате минус левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно левая круглая скобка a минус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс x плюс 1 правая круглая скобка =0.$

Получившееся уравнение задаёт на плоскости Оxa пару лучей: луч l₁ с началом в точке (0; 1), совпадающий с прямой $a=x плюс 1$ при $x меньше или равно 0,$ и луч l₂ с началом в точке (0; −1), совпадающий с прямой $a= минус x минус 1$ при $x меньше или равно 0.$ Лучи l₁ и l₂ пересекаются в точке (−1; 0). При $x больше или равно 0$ уравнение $a в квадрате минус x в квадрате плюс 2|x| минус 1=0$ принимает вид:

$a в квадрате минус x в квадрате плюс 2 x минус 1=0 равносильно a в квадрате минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно левая круглая скобка a минус x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс x минус 1 правая круглая скобка =0.$

Получившееся уравнение задаёт на плоскости Oxa пару лучей: луч l₃ с началом в точке (0; 1), совпадающий с прямой $a=1 минус x$ при $x больше или равно 0,$ и луч l₄ с началом в точке (0; −1), совпадающий с прямой $a=x минус 1$ при $x больше или равно 0.$ Лучи l₃ и l₄ пересекаются в точке (1; 0).

Число корней исходного уравнения равно числу точек пересечения прямой $a=c$ с объединением лучей l₁, l₂, l₃ и l₄.

Каждый из лучей l₁ и l₃ пересекается с прямой $a=c$ в одной точке при $c меньше или равно 1$ и не пересекается при $c больше 1.$

Каждый из лучей l₂ и l₄ пересекается с прямой $a=c$ в одной точке при $c \geqslant минус 1$ и не пересекается при $c меньше минус 1.$

Следовательно, при $a меньше минус 1$ и $a больше 1$ исходное уравнение имеет ровно два корня.

При $c= минус 1$ и $c=1$ прямая $a=c$ проходит через общую точку лучей l₂ и l₄, l₁ и l₃ соответственно. Значит, при $a= минус 1$ и $a=1$ исходное уравнение имеет ровно три корня.

При $c=0$ прямая $a=c$ проходит через точки пересечения лучей l₃ и l₄, l₁ и l₂. Значит, при $a=0$ исходное уравнение имеет ровно два корня.

Следовательно, при $минус 1 меньше a меньше 0$ и $0 меньше a меньше 1$ исходное уравнение имеет ровно четыре корня.

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при $a меньше минус 1,$ $a=0$ и $a больше 1.$

Ответ: $a меньше минус 1;$ $a=0;$ $a больше 1.$

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек $a= минус 1$ и/или $a=1$	3
С помощью верного рассуждения получены промежутки $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка$ множества значений a, возможно, с включением граничных точек ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямых (аналитически или графически)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 27. Для каждых двух написанных чисел a и b таких, что $a меньше b$ ни одно из написанных чисел не делится на b – a и ни одно из написанных чисел не является делителем числа b – a.

а)  Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 4, 5, 6?

б)  Среди написанных на доске чисел есть 5. Может ли N быть равным 7?

в)  Найдите наибольшее значение N.

Решение. a)  Если на доске написаны два числа, идущие подряд, то любое число делится на их разность, равную 1. Если на доске написаны числа 4 и 6, то каждое из этих чисел делится на их разность, равную 2. Значит, никакие два из чисел 4, 5 и 6 не могли быть написаны на доске одновременно.

б)  Если на доске написано 7 чисел, то хотя бы два из них дают одинаковый остаток при делении на 5. Значит, разность этих чисел делится на 5. Следовательно, N не может быть равным 7.

в)  Предположим, что $N больше или равно 10.$ Если на доске есть число $a меньше или равно 9,$ то хотя бы два из написанных на доске чисел дают одинаковый остаток при делении на a, но тогда их разность делится на a. Значит, каждое из чисел, написанных на доске, больше 9. Среди любых $N больше или равно 10$ различных чисел от 10 до 27 найдётся два, идущих подряд. Разность этих чисел равна 1, и на неё делится любое число, написанное на доске. Получаем противоречие. Следовательно, $N меньше или равно 9.$

Покажем, что N может быть равным 9. Пусть на доске написаны числа:

11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27.

Разность любых двух из этих чисел чётная, а значит, ни одно из написанных на доске чисел не делится на неё. С другой стороны, каждая из таких разностей не превосходит 16. Следовательно, любой нечётный делитель такой разности не превосходит 7. Таким образом, построенный пример удовлетворяет условию задачи.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 9.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	630194	а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k; 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $4 Пи .$
2	630195	б) $арктангенс корень из 2 .$
3	630196	$левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 4 ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$
4	630197	336 тыс. руб.
5	630198	б) $12 корень из 7 .$
6	630199	$a меньше минус 1;$ $a=0;$ $a больше 1.$
7	630200	а) нет; б) нет; в) 9.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение п. а; — обоснованное решение п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург. Вариант 991

Ключ

ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург. Вариант 991