PDF-версии: 1. Тип 13 № 630126 
Источники:
ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 401;
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Разложение на множители, Формулы приведения, периодичность тригонометрических функций
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Используем нечетность синуса, четность косинуса, формулу синуса двойного угла и разложим на множители:
Следовательно, уравнение равносильно совокупности:
б) Корни лежащие на отрезке 
отберем при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). Подходит 
и 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 630126
а) б)
б) Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Разложение на множители, Формулы приведения, периодичность тригонометрических функций
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Точка O — середина отрезка CB1.
и O' — середина BC. Далее пусть P — основание перпендикуляра из точки N' на AB. Из подобия треугольников ABD и PBN' по острому углу следует: 
и 
Имеем 
и 
что означает, что точки A, N' и O' лежат на одной прямой. 
проходит через A. Отсюда следует, что и NO проходит через точку A.
— квадрат, как прямоугольник с перпендикулярными диагоналями. 
Используя пространственную теорему Пифагора, запишем: 
и 
откуда 
направление оси Oy — с направлением вектора 
и направление оси Oz — с направлением вектора 
Тогда 
Найдем координаты векторов: 
и 
Получаем 
следовательно, вектора 
и 
коллинеарны, то есть лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Точка N принадлежит обоим этим векторам, следовательно, они лежат на одной прямой, то есть точка A лежит на прямой ON, что и требовалось доказать.
тогда 
тыс. руб. После первого платежа долг составит 
тыс. руб.
тыс. руб.
тыс. руб.
тыс. руб.
тыс. руб.,
если 
по теореме Пифагора в треугольнике ABC и 
по теореме Пифагора в треугольнике ABD.
поэтому точки A, B, C, D лежат на одной окружности. Из равенства углов BAC и CAD следует равенство дуг, на которые они опираются. Равные дуги стягиваются равными хордами BC и CD, что и требовалось доказать.
как опирающиеся на одну дугу. Из условия следует, что
Из треугольника BTC найдем 
откуда и следует ответ.
Тогда 
значит, в этом случае корнями могут быть числа 
при 
при 
Отдельно отметим, когда корни совпадают: 
при 
Тогда 
значит, в этом случае корнями уравнения могут быть числа 
и 
при 
при 
Отдельно отметим, когда корни совпадают: 
при 
корнями исходного уравнения являются числа 
и
— 2 корня;
корнями исходного уравнения являются числа 
и 
— 3 корня;
корнями исходного уравнения являются числа 
— 4 корня;
корнями исходного уравнения являются числа 
и 
— 2 корня;
корнями исходного уравнения являются числа 
корнями исходного уравнения являются числа 
— 3 корня;
корнями исходного уравнения являются числа 
и 
— 2 корня.
a = 0, a > 2.
тогда получим
и 
совпадают и при этом положительны, либо если один из них отрицательный, а второй положительный.
и 
совпадают при a = 0, в этом случае t = 1 и исходное уравнение имеет два корня.
тогда корень 
и 
множества значений a, возможно с включением границ
и 
а 19 делится на 
это невозможно.
значит, все разности имеют вид 2n при 
Поскольку все числа нечетны, 2n может делиться на них, только если n делится. Но n меньше любого из них. В этом примере 33 числа.