В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка K является серединой ребра SD, а точка L — серединой стороны BC основания ABCD. Плоскость AKL пересекает ребро SC в точке N.
а) Докажите, что SN : NС = 2 : 1.
б) Найдите угол между плоскостями AKL и ABC, если AB = 10, а высота пирамиды равна 20.
а) Пусть прямые AL и DC пересекаются в точке M, тогда точка M лежит также и на прямой KN. Заметим, что треугольники ABL и MCL равны, следовательно, CM = AB = CD. Запишем теорему Менелая для треугольника SCD и прямой KM:
б) Заметим, что AM — прямая пересечения плоскостей AKL и ABC. Пусть K' — проекция точки K на плоскость ABC. Опустим из точек K и K' на прямую AM перпендикуляры KH и K'H, тогда угол KHK' — линейный угол искомого угла, найдём его. Пусть P — точка пересечения BD и AM. Имеем:
По теореме косинусов для треугольника ADP имеем:
Ответ: б) 