Ре­ше­ние. a)  Ис­поль­зу­ем фор­му­лы по­ни­же­ния по­ряд­ка:

б)  Отберём корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти. Под­хо­дят

Ответ: а) б)

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­та а).

а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Ре­ше­ние. а)  Пусть пря­мые AL и DC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M, тогда точка M лежит также и на пря­мой KN. За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки ABL и MCL равны, сле­до­ва­тель­но, CM  =  AB  =  CD. За­пи­шем тео­ре­му Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка SCD и пря­мой KM:

б)  За­ме­тим, что AM  — пря­мая пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей AKL и ABC. Пусть K'  — про­ек­ция точки K на плос­кость ABC. Опу­стим из точек K и K' на пря­мую AM пер­пен­ди­ку­ля­ры KH и K'H, тогда угол KHK'  — ли­ней­ный угол ис­ко­мо­го угла, найдём его. Пусть P  — точка пе­ре­се­че­ния BD и AM. Имеем:

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ADP имеем:

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

Ответ:

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим сумму кре­ди­та бук­вой К, пе­ре­пла­ты Ев­ге­ния  — бук­вой p. Вы­пла­ты по по­га­ше­нию ос­нов­но­го долга в те­че­ние 6 пла­теж­ных ме­ся­цев при­ве­дем в таб­ли­це.

Из усло­вия сле­ду­ет, что пе­ре­пла­ты Ев­ге­ния будут убы­вать как члены ко­неч­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии p_n с пер­вым чле­ном и с ше­стым (по­след­ним) чле­ном Сумма всех 6 чле­нов этой про­грес­сии со­став­ля­ет

Из усло­вия сле­ду­ет, что

По­след­не­му не­ра­вен­ству удо­вле­тво­ря­ют це­ло­чис­лен­ные зна­че­ния r, рав­ные 6, 7, 8, ... , наи­мень­шим из ко­то­рых яв­ля­ет­ся число 6.

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. а)  Обо­зна­чим точки ка­са­ния окруж­но­стей с пря­мы­ми, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Имеем:

от­сю­да

сле­до­ва­тель­но, KX  =  YD, KD  =  PQ. Тогда

где p  — по­лу­пе­ри­метр. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Из п. а) по­лу­ча­ем:

Ответ: б) 5.

Ре­ше­ние. Ис­сле­ду­ем функ­цию

При функ­ция при­ни­ма­ет вид а при функ­ция при­ни­ма­ет вид

За­ме­тим, что яв­ля­ет­ся чётной функ­ци­ей. Рас­смот­рим её на про­ме­жут­ке На этом про­ме­жут­ке Тогда её про­из­вод­ная Ста­ци­о­нар­ная точка яв­ля­ет­ся точ­кой ми­ни­му­ма. Функ­ция убы­ва­ет на и не­огра­ни­чен­но воз­рас­та­ет на При этом

Тогда для ис­ход­ной функ­ции имеем

x		−4			0		4
	−	0	+	+	не су­ще­ству­ет	−	0	+
	убы­ва­ет	точка ми­ни­му­ма	воз­рас­та­ет	воз­рас­та­ет	точка мак­си­му­ма	убы­ва­ет	точка ми­ни­му­ма	воз­рас­та­ет
зна­че­ния		−129			1		−127

Тогда ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно три корня при и

Ответ:

Ре­ше­ние. Числа, вхо­дя­щие в ДНК, будем на­зы­вать ге­на­ми.

а)  Если число де­лит­ся на 10, то у него есть гены 2 и 5. Если оно род­ствен­но сво­е­му сим­мет­рич­но­му, то у того тоже есть гены 2 и 5, по­это­му оно крат­но 10. Зна­чит, оно кон­ча­ет­ся на 0, то есть n на­чи­на­ет­ся с нуля. Про­ти­во­ре­чие.

б)  Если сумма двух цифр равна 13, то одна из них четна, а дру­гая нет, при­чем ни одна из них не ноль (и не будет от­бро­ше­на). Зна­чит, одно из пары сим­мет­рич­ных чисел за­кан­чи­ва­ет­ся на чет­ную цифру и со­дер­жит ген 2, а дру­гое не со­дер­жит его. По­это­му они не род­ствен­ны.

в)  До­ка­жем, что ми­ни­маль­ное число это 121. В самом деле, любое мень­шее со­став­ное число имеет про­стой мно­жи­тель, не боль­ший 7. Умно­жим число на него, оно оста­нет­ся трех­знач­ным, по­сколь­ку не пре­взой­дет 120 · 7 < 1000. При этом к его генам ни­че­го не до­ба­вит­ся. Геном 121 со­сто­ит толь­ко из гена 11. Такое бы­ва­ет толь­ко у сте­пе­ней числа 11, но даже бли­жай­шие к 121 сте­пе­ни числа 11 это 11¹  =  11 и 11³  =  1331  — не трех­знач­ные числа. До­ка­жем, что мак­си­маль­ное такое число это 998. За­ме­тим, что геном 999  =  3³ · 37 со­сто­ит из 3 и 37, как и геном 37 · 3  =  111. C дру­гой сто­ро­ны, геном 998  =  2 · 499 со­сто­ит из 2 и 499 (для про­вер­ки про­сто­ты числа 499 до­ста­точ­но убе­дить­ся, что оно не крат­но про­стым чис­лам от 2 до 19, по­сколь­ку 23² > 499). Любое дру­гое число с таким же ге­но­мом крат­но 2 и 499, а по­то­му крат­но и 998. Дру­гих таких трех­знач­ных чисел нет.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  121 и 998.