Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д16 C5 № 627184
i

Фирма со­би­ра­ет­ся по­стро­ить новый цех. Стро­и­тель­ство но­во­го цеха стоит 1060 мил­ли­о­нов руб­лей. За­тра­ты на про­из­вод­ство x тысяч еди­ниц про­дук­ции в этом цехе равны 0,2x в квад­ра­те плюс 2x плюс 10 млн руб. в год. Если про­дук­цию цеха про­дать по цене p тыс. руб. за еди­ни­цу, то при­быль фирмы (в млн руб.) за один год со­ста­вит px минус левая круг­лая скоб­ка 0,2x в квад­ра­те плюс 2x плюс 10 пра­вая круг­лая скоб­ка . Когда цех будет по­стро­ен, каж­дый год фирма будет вы­пус­кать про­дук­цию в таком ко­ли­че­стве, чтобы при­быль была наи­боль­шей. В пер­вый год после по­строй­ки цеха цена про­дук­ции p  =  18 тыс. руб. за еди­ни­цу, каж­дый сле­ду­ю­щий год цена про­дук­ции уве­ли­чи­ва­ет­ся на 1 тыс. руб. за еди­ни­цу. За сколь­ко лет оку­пит­ся стро­и­тель­ство цеха?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Вве­дем функ­цию f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =px минус левая круг­лая скоб­ка 0,2x в квад­ра­те плюс 2x плюс 10 пра­вая круг­лая скоб­ка , где p боль­ше 0, x боль­ше 0. Наи­боль­шее зна­че­ние этой функ­ции будет наи­боль­шим зна­че­ни­ем при­бы­ли за один год. Пре­об­ра­зу­ем f(x), по­лу­ча­ем:

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 0,2x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка p минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x минус 10.

Эта квад­ра­тич­ная функ­ция до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния в точке

x_0= дробь: чис­ли­тель: p минус 2, зна­ме­на­тель: 0,4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5 левая круг­лая скоб­ка p минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

оно равно

f левая круг­лая скоб­ка x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 25 левая круг­лая скоб­ка p минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс левая круг­лая скоб­ка p минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 5 левая круг­лая скоб­ка p минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 10= дробь: чис­ли­тель: 5 левая круг­лая скоб­ка p минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 5 левая круг­лая скоб­ка p минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 10= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби левая круг­лая скоб­ка p минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 10.

Вы­чис­лим не­сколь­ко сумм ожи­да­е­мой при­бы­ли фирмы по годам, на­чи­ная с пер­во­го.

 

ГодЗначе-

ние p

Сумма уве­ли­че­ния при­бы­ли фирмы вслед­ствие сдачи по­стро­ен­но­го цеха
в те­ку­щий год (млн руб.)на­рас­та­ю­щая сумма,
счи­тая с пер­во­го года (млн руб.)
118 дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на 16 в квад­ра­те минус 10= дробь: чис­ли­тель: 5 умно­жить на 256, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 10= дробь: чис­ли­тель: 1280 минус 40, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =310 мень­ше 1060
219 дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на 17 в квад­ра­те минус 10= дробь: чис­ли­тель: 5 умно­жить на 289, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 10= дробь: чис­ли­тель: 1445 минус 40, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =351,25 310 плюс 351,25=661,25
320 дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на 18 в квад­ра­те минус 10= дробь: чис­ли­тель: 5 умно­жить на 324, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 10= дробь: чис­ли­тель: 1620 минус 40, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =395 661,25 плюс 395=1056,25
421 дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 10= дробь: чис­ли­тель: 5 умно­жить на 361, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 10= дробь: чис­ли­тель: 1805 минус 40, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =441,25 1056,25 плюс 441,25=1497,50,

а это боль­ше, чем 1060

 

Ответ: 4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Верно по­стро­е­на ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 384