Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 563397
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби минус 10 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби \geqslant1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что не­ра­вен­ство не имеет смыс­ла при x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби \leqslant0, а если x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби боль­ше 0, то x боль­ше 0. Сумма по­ло­жи­тель­ных вза­им­но об­рат­ных ве­ли­чин не мень­ше двух, а ло­га­рифм, ос­но­ва­ние и ар­гу­мент ко­то­ро­го боль­ше 1, по­ло­жи­те­лен:

x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби \geqslant2 \Rightarrow ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0.

Тогда обе части не­ра­вен­ства можно умно­жить на зна­ме­на­тель левой части, не меняя знака не­ра­вен­ства:

дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби минус 10 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби \geqslant1 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби минус 10 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби минус 10 боль­ше или равно x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби ,x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби боль­ше 0. конец си­сте­мы .

Пусть t=x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби , тогда t в квад­ра­те минус 2=x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби , от­ку­да по­лу­ча­ем:

си­сте­ма вы­ра­же­ний t в квад­ра­те минус 2 минус 10 боль­ше или равно t,t боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний t в квад­ра­те минус t минус 12\geqslant0,t боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка t минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка \geqslant0,t боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но t\geqslant4.

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби \geqslant4 \underset x боль­ше 0 \mathop рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 4x плюс 1 боль­ше или равно 0 \underset x боль­ше 0 \mathop рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 0 мень­ше x\leqslant2 минус ко­рень из 3 ,x\geqslant2 плюс ко­рень из 3 . конец со­во­куп­но­сти .

Ответ: левая круг­лая скоб­ка 0;2 минус ко­рень из 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 2 плюс ко­рень из 3 ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Обос­но­ван­но по­лу­чен ответ, от­ли­ча­ю­щий­ся от вер­но­го ис­клю­че­ни­ем точек,

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 357
Классификатор алгебры: Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства, Не­ра­вен­ства сме­шан­но­го типа, Об­ласть опре­де­ле­ния не­ра­вен­ства, Ра­ци­о­наль­ные не­ра­вен­ства
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны, Метод ин­тер­ва­лов
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026