В кубе ABCDA1B1C1D1 со стороной 8 на ребре AA1 взята точка K такая, что A1K = 1. Через точки K и B1 проведена плоскость α, параллельная прямой AC1.
а) Докажите, что A1P : PD1 = 1 : 6, где P — точка пересечения плоскости α и ребра A1D1.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью ADD1.
а) Через точку B1 проведём прямую, параллельную AC1, эта прямая пересечёт прямую AD, так как прямые B1C1 и AD параллельны. Пусть Q — точка их пересечения. Тогда B1KQ — плоскость сечения α. Проведём прямую QK до её пересечения с A1D1 — точки P. Заметим, что B1C1AQ — параллелограмм, и AQ = B1C1 = 8, AK = 7. Треугольники AKQ и A1KP — подобны, следовательно, 
откуда
б) Линией пересечения плоскостей является прямая PQ. Из точек B1 и A1 опустим на неё перпендикуляры. По теореме о трёх перпендикулярах они попадут в одну точку, назовём её H. Угол B1HA1 — линейный угол искомого угла. Чтобы найти его, заметим, что A1H — высота прямоугольного треугольника A1PK. Тогда:
Следовательно, 
Ответ: б) 
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
а) Введем прямоугольную систему координат с началом в точке B. в этой системе координат:
Пусть 
тогда 
Вектор 
параллелен плоскости α, а значит, перпендикулярен нормали к этой плоскости, а значит, их скалярное произведение равно нулю. Пусть вектор нормали имеет координаты 
тогда
откуда 
Подставляя координаты точек B1 и K в уравнение 
плоскости α, получаем систему уравнений:
Плоскость α не проходит через начало координат, поэтому один из коэффициентов можно выбрать произвольным, отличным от нуля. Положим 
тогда 
Следовательно, 
а уравнение плоскости имеет вид
Подставим координаты точки P в уравнение плоскости, получим: 
Это равенство верно, значит, точка P принадлежит плоскости α. Следовательно, 
б) Найдем координаты вектора нормали к плоскости ADD1: подставляя координаты точек A,D, D1 в уравнение 
получаем:
Из первого уравнения системы находим 
Далее находим, что B = C = 0. Положим тогда вектор нормали к плоскости ADD1 имеет координаты 
Пусть φ — угол между плоскостью α и плоскостью ADD1. Косинус угла φ между плоскостями равен модулю косинуса угла между нормалями к этим плоскостям. Имеем:
Следовательно, 