ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 15 № 561742 Добавить в вариант

Решите неравенство $4x в квадрате плюс 3 в степени левая круглая скобка корень из x плюс 1 правая круглая скобка плюс x умножить на 3 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка меньше 2x в квадрате умножить на 3 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка плюс 2x плюс 6.$

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем неравенство, сгруппировав слагаемые и разложив на множители. Затем воспользуемся методом рационализации:

$4x в квадрате плюс 3 в степени левая круглая скобка корень из x плюс 1 правая круглая скобка плюс x умножить на 3 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка меньше 2x в квадрате умножить на 3 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка плюс 2x плюс 6 равносильно 4x в квадрате минус 2x минус 6 минус 2x в квадрате умножить на 3 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка плюс x умножить на 3 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка плюс 3 умножить на 3 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка меньше 0 равносильно$ $4x в квадрате плюс 3 в степени левая круглая скобка корень из x плюс 1 правая круглая скобка плюс x умножить на 3 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка меньше 2x в квадрате умножить на 3 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка плюс 2x плюс 6 равносильно$
$равносильно 4x в квадрате минус 2x минус 6 минус 2x в квадрате умножить на 3 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка плюс x умножить на 3 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка плюс 3 умножить на 3 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка меньше 0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка 2x в квадрате минус x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус 3 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка правая круглая скобка меньше 0 равносильно левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка больше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 2 правая круглая скобка правая круглая скобка больше 0 равносильно$ $равносильно левая круглая скобка 2x в квадрате минус x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус 3 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка правая круглая скобка меньше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка больше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 2 правая круглая скобка правая круглая скобка больше 0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из x } минус логарифм по основанию 3 2 правая круглая скобка больше 0 равносильно левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из x } минус корень из: начало аргумента: левая круглая скобка логарифм по основанию 3 2 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента правая круглая скобка больше 0 равносильно$

$равносильно система выражений x\geqslant0, левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус логарифм по основанию 3 в квадрате 2 правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно система выражений x\geqslant0 , левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус логарифм по основанию 3 в квадрате 2 правая круглая скобка больше 0. конец системы .$

Заметим, что $0 меньше логарифм по основанию 3 2 меньше логарифм по основанию 3 3=1,$ тогда $0 меньше логарифм по основанию 3 в квадрате 2 меньше 1 меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,$ и применим метод интервалов:

Тогда

$совокупность выражений 0 меньше или равно x меньше логарифм по основанию 3 в квадрате 2,x больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Ответ: $левая квадратная скобка 0; логарифм по основанию 3 в квадрате 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 349

Классификатор алгебры: Иррациональные неравенства, Неравенства смешанного типа, Область определения неравенства, Показательные уравнения и неравенства, Рациональные неравенства

Методы алгебры: Группировка, Метод интервалов, Рационализация неравенств. Корни

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь