Ре­ше­ние. а)  Ис­поль­зу­ем фор­му­лу си­ну­са двой­но­го угла, сгруп­пи­ру­ем сла­га­е­мые, раз­ло­жим на мно­жи­те­ли:

б)  Отберём корни при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти. По­лу­чим:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть точки M₁, M₂, M₃ и M₄  — се­ре­ди­ны рёбер AB, CD, BC и AD со­от­вет­ствен­но. Плос­кость се­че­ния про­хо­дит через точки M₁ и M₂ па­рал­лель­но AM₃. По­стро­им се­че­ние: пря­мая M₁N₂ па­рал­лель­на пря­мой AM₃ (N₂  — точка на ребре BC). Точка S  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мой M₁N₂ с пря­мой AC. Точка N₁  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мой SM₂ с пря­мой AD. Тогда M₁N₁M₂N₂  — ис­ко­мое се­че­ние.

Точка M₁  — се­ре­ди­на ребра AB, тогда по тео­ре­ме Фа­ле­са от­рез­ки BN₂ и N₂M₃ равны, а также

и По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ADC по­лу­чим

Таким об­ра­зом, сле­до­ва­тель­но, пря­мая M₁N₁ па­рал­лель­на пря­мой BM₄, зна­чит, се­че­ние M₁N₁M₂N₂ па­рал­лель­но пря­мой BM₄.

б)  За­ме­тим, что пря­мые M₁N₁ и M₁N₂ пер­пен­ди­ку­ляр­ны, при этом M₁N₁  =  M₂N₂  =  1. Кроме того, тре­уголь­ни­ки CAM₃ и CSN₂ по­доб­ны, от­ку­да сле­до­ва­тель­но, По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка SM₂C по­лу­чим от­ку­да

По тео­ре­ме об от­но­ше­нии пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков с рав­ным углом по­лу­чим, что

Ответ: б) 2.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство, ис­поль­зуя метод ра­ци­о­на­ли­за­ции:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть пря­мые OD и NE  — пер­пен­ди­ку­ля­ры, опу­щен­ные на пря­мую AC из точек O и N. При­ме­ним тео­ре­му Ме­не­лая к тре­уголь­ни­ку ABN и се­ку­щей CM: то есть зна­чит, От­сю­да Тогда и Оста­лось за­ме­тить, что

Зна­чит, Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть вы­со­та Тогда

Зна­чит, ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно

Ответ: б)

Ре­ше­ние. В июле 2027, 2028 и 2029 годов долг перед бан­ком не ме­ня­ет­ся, а еже­год­ные вы­пла­ты со­став­ля­ют по 0,3S тыс. руб­лей. В ян­ва­ре 2030 года долг (в тыс. руб­лей) равен 1,3S, а в июле  — 1,3S − 338. В ян­ва­ре 2031 года долг равен 1,69S − 439,4. а в июле  — 1,69S − 777,4. По усло­вию, к июлю 2031 года долг будет вы­пла­чен пол­но­стью, зна­чит, 1,69S − 777,4 = 0, от­ку­да S  =  460.

Таким об­ра­зом, пер­вые три вы­пла­ты со­став­ля­ют по 138 тыс. руб., а по­след­ние две  — по 338 тыс. руб. Общая сумма вы­плат со­став­ля­ет:

Ответ: 1090 тысяч руб­лей.

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 548820.

Ре­ше­ние. Урав­не­ния яв­ля­ют­ся рав­но­силь­ны­ми тогда и толь­ко тогда, когда мно­же­ства их ре­ше­ний сов­па­да­ют. Решим пер­вое урав­не­ние:

Вы­яс­ним, при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра а кор­нем вто­ро­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся :

Зна­чит, ис­ход­ные урав­не­ния не могут быть рав­но­силь­ны при Решим вто­рое урав­не­ние при усло­вии :

При вто­рое урав­не­ние со­во­куп­но­сти не имеет ре­ше­ний. Тогда яв­ля­ет­ся един­ствен­ным ре­ше­ни­ем.

При вто­рое урав­не­ние со­во­куп­но­сти имеет ре­ше­ние, ко­то­рое сов­па­да­ет с толь­ко при

Таким об­ра­зом, ис­ход­ные урав­не­ния рав­но­силь­ны при или

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть в школе № 1 пи­са­ли тест n уча­щих­ся. Тогда сум­мар­ный балл всех уча­щих­ся этой школы рав­нял­ся 18n, а после пе­ре­хо­да од­но­го уча­ще­го­ся в школу № 2 сум­мар­ный балл стал рав­нять­ся 19,8(n − 1). Таким об­ра­зом, сум­мар­ный балл умень­шил­ся на 1,8(11 − n). Это число долж­но быть на­ту­раль­ным, по­сколь­ку рав­ня­ет­ся ко­ли­че­ству бал­лов пе­ре­шед­ше­го в школу № 2 уча­ще­го­ся. Зна­чит, этот уча­щий­ся на­брал 9 бал­лов и n  =  6.

б)  В школе № 1 тест пи­са­ли 6 уча­щих­ся, один из ко­то­рых на­брал 9 бал­лов. При этом сум­мар­но они на­бра­ли 108 бал­лов. Зна­чит, наи­боль­шее ко­ли­че­ство бал­лов у уча­ще­го­ся с луч­шим ре­зуль­та­том могло быть тогда, когда сумма бал­лов осталь­ных пяти уча­щих­ся была наи­мень­шей, то есть когда они на­бра­ли 1, 2, 3, 4 и 9 бал­лов. В этом слу­чае наи­боль­ший балл равен 89.

в)  Пусть в школе № 2 пи­са­ли тест m уча­щих­ся, а сред­ний балл рав­нял­ся B. Тогда по­лу­ча­ем:

Таким об­ра­зом, число 90 долж­но де­лить­ся на m + 11. При этом m + 11 > 21, по­сколь­ку m > 10. Число 90 имеет 3 де­ли­те­ля, боль­ших 21: 30, 45 и 90. Зна­чит, m + 11 ≥ 30, от­ку­да m ≥ 19.

По­ка­жем, что число m может рав­нять­ся 19. Этот слу­чай ре­а­ли­зу­ет­ся, на­при­мер, если в школе № 1 пи­са­ли тест 6 уча­щих­ся, один уча­щий­ся на­брал 9 бал­лов, один уча­щий­ся на­брал 27 бал­лов и 4 уча­щих­ся на­бра­ли по 18 бал­лов, в школе № 2 пи­са­ли тест 19 уча­щих­ся и каж­дый на­брал по 3 балла, а у пе­ре­шед­ше­го из одной школы в дру­гую уча­ще­го­ся 9 бал­лов.

Ответ: а)  6; б)  89; в)  19.

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 520943.