PDF-версии: 
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение.
а) Преобразуем уравнение:
б) Отберем корни при помощи единичной тригонометрической окружности (см. рис.). На заданном отрезке лежат корни 
Ответ: а)
б)
----------
Дублирует задание 548478.
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Точки M и K принадлежат плоскости α, которая перпендикулярна плоскости ABC.
тогда 
Из последнего соотношения получаем: OT : TB = 7 : 3. Но OH : HB = SK : KB = 7 : 3. Значит, точки H и T совпадают. Следовательно, CM пересекает BO в точке H. Плоскость KMC содержит KH, которая перпендикулярна ABC. Таким образом, плоскости KMC и ABC перпендикулярны. Поэтому плоскость α проходит через точку C.
применим на ОДЗ — луче 
метод интервалов и выпишем ответ: 
а выплаты с февраля по июнь в 2030 и 2031 годах составляют по x тыс. руб. В июле 2027, 2028 и 2029 годов долг перед банком не меняется, а ежегодные выплаты составляют по 220(k − 1) тыс. руб.
а в июле − 
По условию, к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью, значит, 
откуда 
Из полученного уравнения находим k = 1,2, тогда r = 20. 
выплату в первые три года за a, а выплату в последние два года за 
Тогда, если 
то 
— так выглядит выплата в каждый из первых трех годов. Условие выплаты кредита двумя равными платежами в последние два года дается формулой 
Тогда 
Подставляя выражения a и b, выраженные через k, получаем уравнение: 
В силу теоремы Виета, сумма корней полученного уравнения равна 
а их произведение равно 
Нетрудно подобрать числа (см. комментарий ниже), удовлетворяющие этим равенствам: это числа 
и 
По теореме, обратной теореме Виета, найденные числа являются корнями этого квадратного уравнения. Отрицательный корень не подходит по смыслу задачи. Тем самым 
откуда 
и 
где 
Кроме того, из суммы корней находим, что 
Теперь подбираем удовлетворяющие системе целые числа: 
задаёт пучок прямых, проходящих через начало координат, симметричных друг другу относительно оси ординат и совпадающих при 
Двойное неравенство 
задает горизонтальную полосу, ограниченную прямыми 
и 
включая границы. Уравнение 
задает окружность с центром в точке 
и радиусом 
Дуга окружности, лежащая в указанной полосе, выделена на рисунке синим. Определим, при каком значении параметра а прямые, задаваемые уравнениями 
имеют с этой дугой окружности ровно две общие точки. 
является решением при любом значении параметра a. Вторая точка пересечения соответствует следующим трем случаям.
прямых 
Найдем уравнение такой касательной. Прямая, проходящая через начало координат, задается уравнением 
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть перпендикулярна прямой 
содержащий этот радиус (см. рис.). Две прямые на плоскости, отличные от координатных осей, перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно −1. Тем самым 
откуда 
Следовательно, искомое уравнение касательной есть 
что соответствует значениям 
При этом вторая прямая 
не пересекает дугу окружности в точке, отличной от начала координат, а значит, найденные значения параметра не являются искомыми.
или при 
за исключением ранее отброшенных точек 
Сумма четырнадцати наименьших чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 4, равна
Противоречие.
где ki — целое неотрицательное число. Тогда сумма n чисел на доске равна 
Из (⁎) следует, что 
делится на 10, следовательно, 
и 
заведомо не подходят. При 
из (⁎) получаем, что
Построение примера завершает его предъявление: 
Поэтому чисел не более девяти. Девять чисел взять можно, например, 