Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 547543
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус 2x умно­жить на ко­си­нус 8x минус ко­си­нус 10x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x плюс 1 конец дроби = 0.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус 2x умно­жить на ко­си­нус 8x минус ко­си­нус 10x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x плюс 1 конец дроби = 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус 2x умно­жить на ко­си­нус 8x минус ко­си­нус 2x умно­жить на ко­си­нус 8x плюс синус 2x умно­жить на синус 8x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x плюс 1 конец дроби = 0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: синус 2x умно­жить на синус 8x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x плюс 1 конец дроби = 0 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус 2x=0, синус 8x=0 конец си­сте­мы . ко­си­нус x не равно минус 1 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k,x=2 Пи k, k при­над­ле­жит Z . конец со­во­куп­но­сти .

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти, по­лу­чим: 0, дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k; 2 Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) 0, дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

 

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния синус 2x=0 яв­ля­ют­ся зна­че­ния x= дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , k при­над­ле­жит Z . Все они вхо­дят в мно­же­ство зна­че­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , k при­над­ле­жит Z , яв­ля­ю­щих­ся ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния синус 8x=0. Из этого мно­же­ства не­об­хо­ди­мо ис­клю­чить зна­че­ния x= Пи плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z , по­это­му в ответ за­пи­са­но не­сколь­ко серий кор­ней, чтобы ни в одну из серий не по­па­ла ис­клю­чен­ная точка.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б).

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 317. (Часть C)
Классификатор алгебры: Об­ласть опре­де­ле­ния урав­не­ния, Срав­не­ние чисел, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли
Методы алгебры: Груп­пи­ров­ка, Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы суммы и раз­но­сти ар­гу­мен­тов, Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы суммы и раз­но­сти функ­ций
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025