Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 12 № 547543

а) Решите уравнение  дробь: числитель: косинус 2x умножить на косинус 8x минус косинус 10x, знаменатель: косинус x плюс 1 конец дроби = 0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

а) Преобразуем уравнение:

 дробь: числитель: косинус 2x умножить на косинус 8x минус косинус 10x, знаменатель: косинус x плюс 1 конец дроби = 0 равносильно дробь: числитель: косинус 2x умножить на косинус 8x минус косинус 2x умножить на косинус 8x плюс синус 2x умножить на синус 8x, знаменатель: косинус x плюс 1 конец дроби = 0 равносильно

 равносильно дробь: числитель: синус 2x умножить на синус 8x, знаменатель: косинус x плюс 1 конец дроби = 0 равносильно система выражений совокупность выражений синус 2x=0, синус 8x=0 конец системы . косинус x не равно минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби ,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,x=2 Пи k, k принадлежит Z . конец совокупности .

б) Отберем корни при помощи единичной окружности, получим: 0,  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,  дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,  дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .

 

Ответ: а)  левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)  0,  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,  дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,  дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .

 

Примечание.

Заметим, что решениями уравнения  синус 2x=0 являются значения x= дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , k принадлежит Z . Все они входят в множество значений x= дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 8 конец дроби , k принадлежит Z , являющихся решениями уравнения  синус 8x=0. Из этого множества необходимо исключить значения x= Пи плюс 2 Пи k, k принадлежит Z , поэтому в ответ записано несколько серий корней, чтобы ни в одну из серий не попала исключенная точка.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 317. (Часть C)
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения