СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 530912

Наш добрый герой В. взял в банке кредит в размере 20 192 020 рублей по очень знакомой схеме:

— в конце очередного месяца пользования кредитом банк начисляет проценты за пользование заемными средствами по специальной ставке данного варианта 2,96%;

— в этот же день клиент выплачивает часть долга и сумму начисленных процентов;

— после выплаты долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего месяца.

Но дальше все пошло не по сценарию. Вкладчик решил каждый месяц, начиная с первого, платить банку сверх прочего дополнительную сумму на погашение долга, при этом долг по‐прежнему ежемесячно уменьшался на одну и ту же величину (бóльшую, чем планировалось изначально) до полного погашения. В итоге срок кредита сократился на 52%. На какое наименьшее число процентов могла уменьшиться при этом переплата банку?

Решение.

Введём обозначения: S — сумма кредита в рублях, — процентный коэффициент, n — первоначальный (планировавшийся) срок кредита в месяцах, k — реальный срок кредита в месяцах. Тогда по первоначальному плану на начало очередного месяца долг должен был уменьшаться до нуля следующим образом:

а переплата банку, которая представляет собой сумму начисленных процентов за пользование кредитом, составила бы

При изменившемся сроке кредита переплата банку составила составим пропорцию, характеризующую запланированную и фактическую переплаты:


План:    —   100%
Факт:    —      x%

Отсюда а уменьшение переплаты составляет Требуется найти наименьшее значение этого выражения. Заметим, что по условию срок кредита сократился на 52%, значит, он составил 48% от первоначального. Тогда

Рассмотрим функцию При она возрастает, значит наименьшее значение принимает при наименьшем возможном значении n. По смыслу задачи k и n натуральные числа. С учётом равенства наименьшее возможное Тогда

Тем самым наименьшее число процентов, на которое могла уменьшиться переплата банку, равно 50.

 

Ответ: 50.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 296.