PDF-версии: 1. Тип 13 № 530908 
Классификатор алгебры: Показательные уравнения, Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Введение замены, Выделение полного квадрата, Сведение к однородному
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Уравнения. Тригонометрия и показательные выражения
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите корни этого уравнения, по абсолютной величине не превышающие 
Решение. а) Заметим, что
Тогда
б) Отберём корни, по абсолютной величине не превышающие 
т. е. корни, лежащие на промежутке 
с помощью тригонометрической окружности (см. рис.). Получаем:
Ответ: а) 
б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 530908
а) б)
б) Классификатор алгебры: Показательные уравнения, Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Введение замены, Выделение полного квадрата, Сведение к однородному
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
и 
откуда 
это значит, что точка E лежит в плоскости ABB1, уравнение которой 
Что и требовалось доказать.
значит, высота EBCC1 в два раза больше высоты EA1B1C1. Каждая из них лежит в плоскости ABB1 (так как первая высота перпендикулярна BCC1, а вторая — A1B1C1). Тогда координаты точки E (0, 3 − 2h, 3 + h) или (0, 3 + 2h, 3 + h), где h — высота EA1B1C1. 
Возьмем 
откуда уравнение прямой 
Возьмем 
откуда уравнение прямой 
Преобразуем неравенство:
тогда
Пусть P и Q — проекции точек O и O1 соответственно на прямую BA1. Точка P — середина BE, точка Q — середина A1E, тогда
— процентный коэффициент, n — первоначальный (планировавшийся) срок кредита в месяцах, k — реальный срок кредита в месяцах. Тогда по первоначальному плану на начало очередного месяца долг должен был уменьшаться до нуля следующим образом:
составим пропорцию, характеризующую запланированную и фактическую переплаты:
— 100%
— x%
а уменьшение переплаты составляет 
Требуется найти наименьшее значение этого выражения. Заметим, что по условию срок кредита сократился на 52%, значит, он составил 48% от первоначального. Тогда 
При 
она возрастает, значит, наименьшее значение принимает при наименьшем возможном значении n. По смыслу задачи 
наименьшее возможное 
Тогда
— параболы 
при 
— параболы 
Таким образом, на ОДЗ первое уравнение, а значит, и вся система, имеет единственное решение при 
или при 
при 
можно взять 
Очевидно, что при 
левая часть больше 
и 
что невозможно при натуральных n и k.
При 
имеем 
не является кубом;
не является кубом;
нужно взять 
не является кубом.
с одной стороны, верно неравенство 
и в то же время верно неравенство 
поскольку 
Тем самым 
что невозможно при натуральных n.
