Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 530239

Около окружности радиуса 1 описаны ромб и треугольник, две стороны которого параллельны диагоналям ромба, а третья параллельна одной из сторон ромба и равна 5.

а) Найдите сторону ромба.

б) Найдите часть площади ромба, находящуюся внутри треугольника.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть ABCD — ромб, EHF — треугольник, прямая EH параллельна прямой BD, прямая AC параллельна прямой HF. Прямая BD перпендикулярна прямой AC, следовательно, угол EHF равен 90°. Прямая EF параллельна прямой AD и касается окружности, поэтому прямые BC и EF совпадают. Рассмотрим треугольник EHF, из него получаем:

 левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка в квадрате =5 в квадрате равносильно 2x в квадрате минус 10x плюс 12=0 равносильно совокупность выражений x=2,x=3. конец совокупности .

Без ограничения общности можно считать, что EH=3, HF=4. Далее,  синус \angle HEF= дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби , тогда BO= дробь: числитель: 1, знаменатель: \tfrac45 конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби , BC= косинус \angle HEF= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби . Найдем сторону ромба:

AB = BO / косинус \angle CBO= дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби : дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 25, знаменатель: 12 конец дроби .

б) Имеем:

AO в квадрате = AB в квадрате минус BO в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 25, знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 20, знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в квадрате ,

поэтому AO= дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби .

Теперь найдём часть площади ромба, находящуюся внутри треугольника:

S_RBCNMS=S_ABCD минус S_ARS минус S_MND= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 10, знаменатель: 4 конец дроби минус левая круглая скобка дробь: числитель: AK, знаменатель: AD конец дроби правая круглая скобка в квадрате умножить на S_ABD минус левая круглая скобка дробь: числитель: DP, знаменатель: DO конец дроби правая круглая скобка в квадрате умножить на S_ACD=

= дробь: числитель: 25, знаменатель: 6 конец дроби минус левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате умножить на дробь: числитель: 25, знаменатель: 12 конец дроби минус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате умножить на дробь: числитель: 25, знаменатель: 12 конец дроби = дробь: числитель: 25, знаменатель: 6 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби = дробь: числитель: 45, знаменатель: 12 конец дроби = дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби .

Ответ:  дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б3
Получен обоснованный ответ в пункте б

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 293.