Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 530239
i

Около окруж­но­сти ра­ди­у­са 1 опи­са­ны ромб и тре­уголь­ник, две сто­ро­ны ко­то­ро­го па­рал­лель­ны диа­го­на­лям ромба, а тре­тья па­рал­лель­на одной из сто­рон ромба и равна 5.

а)  Най­ди­те сто­ро­ну ромба.

б)  Най­ди­те часть пло­ща­ди ромба, на­хо­дя­щу­ю­ся внут­ри тре­уголь­ни­ка.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть ABCD  — ромб, EHF  — тре­уголь­ник, пря­мая EH па­рал­лель­на пря­мой BD, пря­мая AC па­рал­лель­на пря­мой HF. Пря­мая BD пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC, сле­до­ва­тель­но, угол EHF равен 90°. Пря­мая EF па­рал­лель­на пря­мой AD и ка­са­ет­ся окруж­но­сти, по­это­му пря­мые BC и EF сов­па­да­ют. Рас­смот­рим тре­уголь­ник EHF, из него по­лу­ча­ем:

левая круг­лая скоб­ка 1 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 6 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =5 в квад­ра­те рав­но­силь­но 2x в квад­ра­те минус 10x плюс 12=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=2,x=3. конец со­во­куп­но­сти .

Без огра­ни­че­ния общ­но­сти можно счи­тать, что EH=3, HF=4. Далее, синус \angle HEF= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , тогда BO= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: \tfrac45 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , BC= ко­си­нус \angle HEF= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . Най­дем сто­ро­ну ромба:

AB = BO / ко­си­нус \angle CBO= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби : дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .

б)  Имеем:

AO в квад­ра­те = AB в квад­ра­те минус BO в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 20, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ,

по­это­му AO= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Те­перь найдём часть пло­ща­ди ромба, на­хо­дя­щу­ю­ся внут­ри тре­уголь­ни­ка:

S_RBCNMS=S_ABCD минус S_ARS минус S_MND= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: AK, зна­ме­на­тель: AD конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те умно­жить на S_ABD минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: DP, зна­ме­на­тель: DO конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те умно­жить на S_ACD=

= дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 45, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 293
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025