Ре­ше­ние. а)  Вос­поль­зу­ем­ся тем, что

и про­из­ве­дем эк­ви­ва­лен­тые пре­об­ра­зо­ва­ния урав­не­ния:

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти. Под­хо­дят

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что пря­мая B₁A яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей пря­мой B₁D на грань ABB₁A₁. Грань ABB₁A₁  — квад­рат, сле­до­ва­тель­но, пря­мая AB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой A₁B. Таким об­ра­зом, пря­мая B₁D пер­пен­ди­ку­ляр­на A₁B по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах.

б)  За­ме­тим, что из п. а) сле­ду­ет, что пря­мая A₁B пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти B₁AD. Из точки O их пе­ре­се­че­ния опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр OH на пря­мую B₁D. Пря­мая OH пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой A₁B, по­сколь­ку лежит в плос­ко­сти B₁AD. Таким об­ра­зом, ис­ко­мое рас­сто­я­ние  — длина OH. Найдём её. Имеем:

Тре­уголь­ни­ки B₁HO и B₁AD по­доб­ны, сле­до­ва­тель­но, от­ку­да

Ответ:

При­ве­дем ре­ше­ние Алек­сандра Тур­ба­но­ва (Ли­пецк).

а)  Вве­дем пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат с на­ча­лом в точке B, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. В этой си­сте­ме ко­ор­ди­нат:

Ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров и равно

сле­до­ва­тель­но, пря­мые BA₁ и B₁D пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Рас­смот­рим плос­кость α, про­хо­дя­щую через пря­мую B₁D и па­рал­лель­ную пря­мой A₁B. Век­тор па­рал­ле­лен плос­ко­сти α, а зна­чит, пер­пен­ди­ку­ля­рен нор­ма­ли к ней. Пусть век­тор нор­ма­ли имеет ко­ор­ди­на­ты тогда от­ку­да Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты точек B₁ и D в урав­не­ние плос­ко­сти решим по­лу­чен­ную си­сте­му урав­не­ний:

По­лу­ча­ем урав­не­ние плос­ко­сти α:

Рас­сто­я­ние между пря­мы­ми A₁B и B₁D равно

Ре­ше­ние. За­ме­тим под зна­ком корня пол­ный квад­рат:

Воз­ведём в квад­рат обе части по­лу­чен­но­го не­ра­вен­ства и рас­смот­рим раз­ность квад­ра­тов левой и пра­вой ча­стей:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть ABCD  — ромб, EHF  — тре­уголь­ник, пря­мая EH па­рал­лель­на пря­мой BD, пря­мая AC па­рал­лель­на пря­мой HF. Пря­мая BD пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC, сле­до­ва­тель­но, угол EHF равен 90°. Пря­мая EF па­рал­лель­на пря­мой AD и ка­са­ет­ся окруж­но­сти, по­это­му пря­мые BC и EF сов­па­да­ют. Рас­смот­рим тре­уголь­ник EHF, из него по­лу­ча­ем:

Без огра­ни­че­ния общ­но­сти можно счи­тать, что Далее, тогда Най­дем сто­ро­ну ромба:

б)  Имеем:

по­это­му

Те­перь найдём часть пло­ща­ди ромба, на­хо­дя­щу­ю­ся внут­ри тре­уголь­ни­ка:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть кре­дит взят на n лет, сумма кре­ди­та равна S руб., еже­год­ные пла­те­жи со­став­ля­ют x руб., по­вы­ша­ю­щий ко­эф­фи­ци­ент Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи.

Номер года	Долг в на­ча­ле года (с уче­том про­цен­тов), руб.	Платёж, руб.	Долг в конце года (после пла­те­жа), руб.
			S
1	kS	x
2		x
...	...	...	...
n		x

Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние для долга в конце n-го года:

Если бы заёмщик не делал пла­те­жей, то сумма кре­ди­та со­ста­ви­ла бы 928 200 руб.:

от­ку­да

Кре­дит был вы­пла­чен рав­ны­ми еже­год­ны­ми пла­те­жа­ми по 200 000 руб., по­это­му

Под­став­ляя на­хо­дим:

Ответ: кре­дит был взят на 4 года.

При­ме­ча­ние ре­дак­ции Решу ЕГЭ.

Чи­та­тель Иван Но­ви­ков за­ме­тил, что это за­да­ние из ва­ри­ан­та Алек­сандра Ла­ри­на не­кор­рект­но. Нет такой суммы, ко­то­рую Ан­дрей Пет­ро­вич мог бы взять в кре­дит так, чтобы за n лет долг ока­зал­ся равен 928 200 руб. Это число не де­лит­ся на 11 и не могло быть по­лу­че­но умно­же­ни­ем на­ту­раль­но­го числа на 1,1ⁿ. Дан­ная в усло­вии сумма кре­ди­та не вы­ра­жа­ет­ся ни целым чис­лом руб­лей, ни даже ко­неч­ной де­ся­тич­ной дро­бью.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му:

Гра­фи­ком вто­ро­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся се­мей­ство па­рал­лель­ных пря­мых (см. рис., вы­де­ле­но синим). При пер­вое урав­не­ние, а зна­чит, и вся си­сте­ма, не имеет ре­ше­ний. При гра­фи­ком пер­во­го урав­не­ния в си­сте­ме ко­ор­ди­нат xOy яв­ля­ет­ся окруж­ность с цен­тром в точке и ра­ди­у­сом при вы­рож­да­ю­ща­я­ся в точку. При си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние Ис­ход­ная си­сте­ма будет иметь ровно че­ты­ре ре­ше­ния тогда и толь­ко тогда, когда окруж­ность будет иметь ровно че­ты­ре общие точки с се­мей­ством пря­мых.

Пря­мая при любом зна­че­нии имеет две общие точки с окруж­но­стью. В силу сим­мет­рии пря­мая и пря­мая ка­са­ют­ся окруж­но­сти при одном и том же зна­че­нии a. Ра­ди­ус окруж­но­сти в этом слу­чае равен по­ло­ви­не диа­го­на­ли квад­ра­та со сто­ро­ной 1, то есть ра­ди­ус равен от­ку­да Зна­чит, при си­сте­ма имеет ровно че­ты­ре ре­ше­ния. При дру­гих зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра си­сте­ма будет иметь или боль­ше че­ты­рех ре­ше­ний, или мень­ше.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Нет. Наи­мень­шее общее крат­ное де­лит­ся на любое из этих чисел, а они, в свою оче­редь де­лят­ся, на их наи­боль­ший общий де­ли­тель. Зна­чит, и наи­мень­шее общее крат­ное де­лит­ся на их наи­боль­ший общий де­ли­тель. Но 123 не де­лит­ся на 5.

б)  Да, на­при­мер, 7 и 294 или 42 и 49.

в)  Пусть эти числа равны 13x и 13y, где x и y не имеют общих де­ли­те­лей. Тогда наи­мень­шее общее крат­ное дан­ных чисел от­ку­да на­ту­раль­ны­ми ре­ше­ни­я­ми по­лу­чен­но­го урав­не­ния яв­ля­ют­ся или или Тогда ис­ход­ные числа равны либо 13 и 78, либо 26 и 39.

Ответ: а) нет; б) да, на­при­мер, 7 и 294; в) 13 и 78, 26 и 39.