Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 530240

Андрей Петрович взял кредит на несколько лет и выплатил его равными ежегодными платежами по 200 000 руб. При этом в начале каждого года сумма кредита увеличивалась на 10%, а в конце года производился платёж. Если бы Андрей Петрович не делал платежей, то за это время вследствие начисления процентов сумма кредита составила бы 928 200 руб. На сколько лет был взят кредит?

Спрятать решение

Решение.

Пусть кредит взят на n лет, сумма кредита равна S руб., ежегодные платежи составляют x руб., повышающий коэффициент k=1 плюс дробь: числитель: 10, знаменатель: 100 конец дроби =1,1. Составим таблицу по данным задачи.

 

Номер
года
Долг в начале года
(с учетом процентов), руб.
Платёж,
руб.
Долг в конце года
(после платежа), руб.
S
1kSxkS минус x
2k в квадрате S минус kxxk в квадрате S минус kx минус x
............
nk в степени n S минус k в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка x минус k в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка x минус ... минус kxxk в степени n S минус k в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка x минус k в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка x минус ... минус kx минус x

 

Преобразуем выражение для долга в конце n-го года:

k в степени n S минус k в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка x минус k в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка x минус ... минус kx минус x=k в степени n S минус x левая круглая скобка k в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс k в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс ... плюс k плюс 1 правая круглая скобка =k в степени n S минус x умножить на дробь: числитель: k в степени n минус 1, знаменатель: k минус 1 конец дроби .

Если бы заёмщик не делал платежей, то сумма кредита составила бы 928 200 руб.:

k в степени n S минус 0 умножить на дробь: числитель: k в степени n минус 1, знаменатель: k минус 1 конец дроби =928200,

откуда k в степени n S=928200.

Кредит был выплачен равными ежегодными платежами по 200 000 руб., поэтому

k в степени n S минус 200000 умножить на дробь: числитель: k в степени n минус 1, знаменатель: k минус 1 конец дроби =0.

Подставляя k в степени n S=928200, находим:

928200 минус 200000 умножить на дробь: числитель: k в степени n минус 1, знаменатель: k минус 1 конец дроби =0 равносильно дробь: числитель: k в степени n минус 1, знаменатель: k минус 1 конец дроби =4,641 равносильно

 равносильно дробь: числитель: 1,1 в степени n минус 1, знаменатель: 1,1 минус 1 конец дроби =4,641 равносильно 1,1 в степени n минус 1=0,4641 равносильно 1,1 в степени n =1,4641 равносильно n=4.

 

Ответ: кредит был взят на 4 года.

 

Примечание редакции Решу ЕГЭ.

Читатель Иван Новиков заметил, что это задание из варианта Александра Ларина некорректно. Нет такой суммы, которую Андрей Петрович мог бы взять в кредит так, чтобы за n лет долг оказался равен 928 200 руб. Это число не делится на 11 и не могло быть получено умножением натурального числа на 1,1n. Данная в условии сумма кредита не выражается ни целым числом рублей, ни даже конечной десятичной дробью.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Верно построена математическая модель1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 293.
Классификатор алгебры: Задачи о кредитах
Спрятать решение · ·
Иван Новиков 16.06.2020 17:50

Кажется, что условие задачи некорректно. Нет такой суммы, которую Андрей Петрович мог бы взять, чтобы за n лет долг оказался равен 928200. Это число не делится на 11 и не могло быть получено умножением натурального числа на 1,1^n.

Татьяна Кравченко

Да, получается, что сумма кредита не выражается целым числом рублей, ни даже конечной десятичной дробью. Добавили примечание в текст решения.