ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 15 № 530065 Добавить в вариант

Решите неравенство: $дробь: числитель: |x в квадрате плюс 2x минус 3| минус |x в квадрате плюс 3x плюс 5|, знаменатель: 2x плюс 1 конец дроби \geqslant0.$

Спрятать решение

Решение.

В силу свойства $\sgn левая круглая скобка |a| минус |b| правая круглая скобка = \sgn левая круглая скобка a в квадрате минус b в квадрате правая круглая скобка$ получаем:

$дробь: числитель: |x в квадрате плюс 2x минус 3| минус |x в квадрате плюс 3x плюс 5|, знаменатель: 2x плюс 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 3 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x плюс 5 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2x плюс 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2x в квадрате плюс 5x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка минус x минус 8 правая круглая скобка , знаменатель: 2x плюс 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка минус x минус 8 правая круглая скобка , знаменатель: 2x плюс 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений x не равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 8 правая круглая скобка меньше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений x не равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , минус 8 меньше или равно x\leqslant минус 2. конец системы .$

Ответ: $левая квадратная скобка минус 8; минус 2 правая квадратная скобка .$

Приведем другое решение.

Заметим, что $x в квадрате плюс 3x плюс 5=x в квадрате плюс 3x плюс 2,25 плюс 2,75= левая круглая скобка x плюс 1,5 правая круглая скобка в квадрате плюс 2,75 больше 0$ при любом значении x. Значит, исходное неравенство можно переписать в виде

$дробь: числитель: |x в квадрате плюс 2x минус 3| минус левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: 2x плюс 1 конец дроби \geqslant0.$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1 случай. При $x в квадрате плюс 2x минус 3\geqslant0 равносильно совокупность выражений x\leqslant минус 3,x\geqslant1 конец совокупности .$ неравенство принимает вид

$дробь: числитель: x в квадрате плюс 2x минус 3 минус левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: 2x плюс 1 конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: минус x минус 8, знаменатель: 2x плюс 1 конец дроби \geqslant0 равносильно минус 8 меньше или равно x меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

C учетом условия для первого случая получаем $минус 8 меньше или равно x\leqslant минус 3.$

2 случай. При $x в квадрате плюс 2x минус 3 меньше 0 равносильно минус 3 меньше x меньше 1$ неравенство принимает вид

$дробь: числитель: минус левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 3 правая круглая скобка минус левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: 2x плюс 1 конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: минус 2x в квадрате минус 5x минус 2, знаменатель: 2x плюс 1 конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: 2x в квадрате плюс 5x плюс 2, знаменатель: 2x плюс 1 конец дроби \leqslant0 равносильно$ $дробь: числитель: минус левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 3 правая круглая скобка минус левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: 2x плюс 1 конец дроби \geqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус 2x в квадрате минус 5x минус 2, знаменатель: 2x плюс 1 конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: 2x в квадрате плюс 5x плюс 2, знаменатель: 2x плюс 1 конец дроби \leqslant0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2x плюс 1 конец дроби \leqslant0 равносильно система выражений x плюс 2\leqslant0,2x плюс 1 не равно 0 конец системы . равносильно x меньше или равно минус 2.$

C учетом условия для второго случая получаем $минус 3 меньше x\leqslant минус 2.$

Объединяя решения в обоих случаях, получаем ответ: $минус 8 меньше или равно x\leqslant минус 2.$

Ответ: $левая квадратная скобка минус 8; минус 2 правая квадратная скобка .$

Примечание.

Можно было бы найти корни числителя из равносильности $|x|=|y| равносильно x= \pm y,$ а затем применить метод интервалов.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 292

Классификатор алгебры: Неравенства с модулями, Область определения неравенства

Методы алгебры: Метод интервалов, Перебор случаев

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь