СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 530066

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке G. Первая окружность с центром в точке Q касается двух параллельных прямых a и b. Вторая — имеет центр в точке О, касается прямой a, а общая касательная окружностей, проходящая через точку G, пересекает прямую a в точке D, а прямую b — в точке А. Прямая АО перпендикулярна прямым a и b.

а) Докажите, что радиусы окружностей относятся как 1 : 2.

б) Найдите площадь четырехугольника AODQ, если радиус большей окружности равен 8.

Решение.

а) Пусть C и E — точка касания первой окружности с прямыми a и b. Точка B — точка касания второй окружности с прямой a. Прямая OB перпендикулярна прямой a, следовательно, точки A, O, B лежат на одной прямой, значит, ECBA — прямоугольник. Далее, (отрезки касательных), поэтому Пусть тогда Треугольники AOG и ADB подобны, тогда

что и требовалось доказать.

б) Имеем: Пусть тогда

Далее, Теперь найдём площадь четырехугольника AODQ:

Ответ:

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 292.