ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д12 C3 № 527556 Добавить в вариант

Решите неравенство: $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 в степени x минус 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 9 левая круглая скобка 9 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус 6 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка плюс 81 правая круглая скобка меньше 3.$

Спрятать решение

Решение.

Обозначим $t=3 в степени x$ и преобразуем неравенство:

$логарифм по основанию 3 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 9 левая круглая скобка 81t в квадрате минус 162t плюс 81 правая круглая скобка меньше 3 равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 9 левая круглая скобка 81 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка меньше 3 равносильно$ $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 9 левая круглая скобка 81t в квадрате минус 162t плюс 81 правая круглая скобка меньше 3 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 9 левая круглая скобка 81 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка меньше 3 равносильно$

$равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 9 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше 3 равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка плюс 2 правая круглая скобка меньше 3 равносильно$

$равносильно логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка плюс 2 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка минус 3 меньше 0 равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка плюс 3 правая круглая скобка меньше 0 равносильно$ $равносильно логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка плюс 2 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка минус 3 меньше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка плюс 3 правая круглая скобка меньше 0 равносильно$

$равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка принадлежит левая круглая скобка минус 3;1 правая круглая скобка равносильно t минус 1 принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 27 конец дроби ;3 правая круглая скобка равносильно t принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 28, знаменатель: 27 конец дроби ;4 правая круглая скобка .$

Перейдём к основной переменной:

$3 в степени x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 28, знаменатель: 27 конец дроби ;4 правая круглая скобка равносильно x принадлежит левая круглая скобка логарифм по основанию целая часть: 3, дробная часть: числитель: 28, знаменатель: 27 ; логарифм по основанию 3 4 правая круглая скобка .$

Ответ: $x принадлежит левая круглая скобка логарифм по основанию целая часть: 3, дробная часть: числитель: 28, знаменатель: 27 ; логарифм по основанию 3 4 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Обоснованно получен ответ, неверный из-за недочета в решении или вычислительной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 269

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь