На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо нескольких (возможно, одного) из чисел на доске написали числа, меньшие первоначальных на 1. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.
а) Могло ли среднее арифметическое чисел на доске увеличиться после произведённой операции?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел было равно 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел получиться равным 34?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел было равно 27. Найдите максимальное возможное значение среднего арифметического оставшихся на доске чисел.
Пусть на доске было x единиц, превратившихся в нули. Остальные числа (их 
) имели сумму S. Пусть ровно y из них были уменьшены на 1.
а) Если были числа 40, 1, 1, 1, ..., 1, то их среднее было 
Если уменьшить на 1 все единицы, то среднее станет 40.
б) По условию сумма чисел была равна
а стала равна 
Значит,
Упростим это уравнение:
Если 
то
Если 
то
Поэтому таких чисел быть не могло.
в) Сумма всех чисел, кроме исчезнувших единиц, была равна 
а новое среднее арифметическое равно 
Если заменить y на 0, то среднее лишь вырастет. Поэтому в оптимальном примере 
Далее,
поэтому чем больше x, тем больше будет и полученное среднее. С другой стороны, поскольку все числа не превосходят 40, должно выполняться условие 
Приведем такой пример. Возьмем 6 единиц (они превратятся в нули и пропадут), 13 чисел по 40 и одно число 14, тогда все условия будут выполнены и мы получим среднее 
Ответ: а) да; б) нет; в) 