Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C5 № 527461

Предприниматель Ашот хочет открыть в своём городе несколько кафе. Он подсчитал, что жители города тратят 50 млн. рублей в год на питание в кафе, причём эта сумма делится поровну между всеми кафе, работающими в городе. Известно, что функционирование одного кафе обходится в 2 млн. рублей в год. Какую наибольшую прибыль (в млн. рублей в год) может получить Ашот, если в городе уже работает 9 кафе, открытых другими предпринимателями?

Спрятать решение

Решение.

Если Ашот откроет x кафе, то потратит на них 2x миллионов и получит  дробь: числитель: x, знаменатель: x плюс 9 конец дроби часть от 50 миллионов, так что его прибыль составит

 дробь: числитель: 50x, знаменатель: x плюс 9 конец дроби минус 2x= дробь: числитель: 32x минус 2x в квадрате , знаменатель: x плюс 9 конец дроби .

Осталось найти наибольшее значение этой функции. Ее производная равна:

 дробь: числитель: левая круглая скобка 32 минус 4x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 9 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 32x минус 2x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 9 правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: минус 2x в квадрате минус 36x плюс 288, знаменатель: левая круглая скобка x плюс 9 правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: минус 2 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 24 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 9 правая круглая скобка в квадрате конец дроби .

Значит, при положительных x производная положительна на  левая круглая скобка 0;6 правая круглая скобка и отрицательна на  левая круглая скобка 6; бесконечность правая круглая скобка . Поэтому 6 — точка максимума, f левая круглая скобка 6 правая круглая скобка = дробь: числитель: 32 умножить на 6 минус 2 умножить на 6 в квадрате , знаменатель: 6 плюс 9 конец дроби =8 миллионов.

 

Ответ: 8 миллионов рублей.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Верно построена математическая модель1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 263.
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: Разные задачи с прикладным содержанием