PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 527284 
Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) В правой части уравнения применим формулу 
получим:
поэтому правая часть равна
В левой части применим формулу приведения:
Тогда уравнение принимает вид
откуда имеем:
б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие отрезку На указанном промежутке лежат числа 
Ответ а) 
б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
527284
а) б)
б) Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Пусть отрезок SE пересекает MN в точке K, тогда 
Пусть K' — проекция точки K на плоскость ABC, а O — центр основания (проекция точки S), тогда K' лежит на OE, то есть на медиане CE. Кроме того, точка K' принадлежит сечению α. Заметим, что так как 
то по теореме Фалеса 
При этом, 
как медиана. Таким образом,
то есть трапеция равнобедренная. По доказанному, 
Пусть γ — угол при основании боковой грани пирамиды. Тогда 
По теореме косинусов, 
Пусть 
и 
— проекции M и N на ABC. Далее, SH — высота, 
прямые 
SH и 
параллельны друг другу. Значит, 
перпендикулярна ABC. Прямая 
пересекает прямые AC и BC в точках P и Q соответственно. Плоскость PMNQ — искомое сечение. Пусть CK — медиана треугольника ABC, точка H — точка пересечения медиан треугольника ACB. Следовательно, CH : HK = 2 : 1, 
треугольники PCQ и ACB подобны с 
(из пункта а). Следовательно, 
положительное при всех значениях x. Получим:
тогда
делят площадь ABCD пополам. Имеем:
Тогда:
Кроме того, 
и 
совпадают. Следовательно, 
пополам.
и 
Далее, 
следовательно, прямая 
параллельна прямой AD. Значит, 
Следовательно, 
— равнобедренная трапеция, а углы BAD, ADC и BCD равны. Значит, в ABCD три равных угла: 108°, 108°, 108° и 36° или 108°, 84°, 84° или 84°.
а тогда 
левая часть уравнения положительна, а правая отрицательна. Значит, при 
уравнение превращается в истинное равенство при всех допустимых значениях 
Значит, при 
Поделим обе части уравнения на a и уединим параметр:
и переформулируем задачу: требуется найти множество значений функции 
при 
Исследуем функцию с помощью производной:
Отметим на рисунке знаки производной и поведение функции на исследуемом промежутке:
Таким образом, при 
множество значений функции представляет собой полуинтервал 
и 
и все условия выполнены.