PDF-версии: 1. Тип 13 № 526695 
Источники:
Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Введение замены
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Уравнения. Тригонометрия и показательные выражения
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Пусть 
Тогда исходное уравнение примет вид: 
Поскольку t положительно, можно домножить обе части уравнения на 
Откуда
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа 
Ответ: а) 
б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 526695
а) б)
б) Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Введение замены
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Проведем отрезок C1O, он равен 
Если мы докажем, что сумма отрезков C1I и IO равна длине отрезка C1O, то точка пересечения диагоналей четырехугольника будет действительно лежать на этом отрезке. 
диагональ трапеции 
по трем точкам, получим: 
следует, что 
и AMB, причём PT пересекает ОС1 именно в точке I, поскольку ТP и C1O — медианы треугольника С1TL, а значит, точкой пересечения делятся так же. Что и требовалось доказать.
вычислим:
Отношение площадей кругов равно 
Тангенс угла ABC равен 
то есть 
Подставим CH в формулу тангенса четвёртой степени:
поэтому CPHQ — прямоугольник. Заметим, что площадь искомого четырёхугольника состоит из суммы площадей треугольников HPO1, PHQ и HQO2. Более того, площади этих фигур являются половинами площадей APH, PHQC и HQB соответственно. Таким образом, 
руб. — сумма кредита, x руб. — ежегодный платеж, 
Тогда схема выплаты кредита выглядит так:
— квадратичная функция, график которой парабола с ветвями вверх. Для того, чтобы оба корня уравнения системы (⁎) лежали в интервале 
необходимо и достаточно выполнения следующих условий:
множества значений параметра, возможно с исключением точек 
и/или 
имеет два различных натуральных корня.
Найдите все возможные значения p.
Найдите все возможные значения q.
Найдите все возможные корни исходного уравнения.
По теореме Виета 
Разложить число 55 на два натуральных множителя можно только двумя способами: 
Получаем, что 
или 
Отсюда по теореме Виета получаем, что 
или 
Отсюда 
и 
— целые неотрицательные числа, поэтому 
(или наоборот). В любом случае 
и 
отличаются друг от друга на чётное число, поэтому они одной чётности, поэтому каждое из них делится на 2 и не делится на 4. Кроме того 
поэтому остаются такие варианты:
Натуральными решениями второго уравнения являются пары чисел (4; 2) или (2; 4), которые не являются решениями первого уравнения. Поэтому этот случай не приводит к решениям.
Всевозможные натуральные решения второго уравнения это (36; 2), (8; 6), (6; 8), (2; 36). Первому уравнению удовлетворяют только пары (8; 6) и (6; 8).