PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Одна таблетка лекарства весит 70 мг и содержит 4% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,05 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте пяти месяцев и весом 8 кг в течение суток?
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Томске за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по приведённой диаграмме, сколько месяцев, от начала года до октября включительно, среднемесячная температура превышала −8 градусов Цельсия.
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 теннисистов, среди которых 7 спортсменов из России, в том числе Анатолий Москвин. Найдите вероятность того, что в первом туре Анатолий Москвин будет играть с каким-либо теннисистом из России.
Решите уравнение 
В треугольнике ABC известно, что АС = 36, ВС = 15, а угол C равен 90°. Найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности.
На рисунке изображен график функции f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
В прямоугольный параллелепипед вписана сфера с радиусом 5. Найдите объём параллелепипеда.
Найдите значение выражения 
Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой 
где T1 — температура нагревателя (в градусах Кельвина), T2 — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя 
КПД этого двигателя будет не меньше 
если температура холодильника 
К? Ответ выразите в градусах Кельвина.
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Автомобилист в час проезжает на 90 км больше, чем велосипедист. Найдите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в В на 5 часов 24 минуты позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке [−4,5; 0].
а) Решите уравнение: 
б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие отрезку 
В основании пирамиды KLMN лежит прямоугольный треугольник LMN с катетами 
и 
Точка A — середина ребра KM. На ребре MN выбрана точка B так, что 
а на ребре LN выбрана точка C так, что 
Плоскость ABC пересекает ребро LK в точке D. Расстояние от точки A до прямой BC равно 
а) Докажите, что D — середина ребра LK.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью ABC.
Решите неравенство 
В треугольнике ABC биссектрисы AD и CE пересекаются в точке O, величина угла AOE составляет 60°.
а) Докажите, что около четырехугольника BDOE можно описать окружность.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если 
а 
15 января Гоша взял в кредит 6 миллионов рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го февраля, апреля и июня долг должен быть на две девятых части от исходной суммы долга меньше, чем величина долга 15 числа предыдущего месяца;
— 15-го марта, мая и июля долг должен быть на одну девятую часть от исходной суммы долга меньше, чем величина долга 15 числа предыдущего месяца;
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 600 тысяч рублей больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет единственное решение на 
Настя добиралась от дома до института на своем автомобиле с постоянной скоростью 80 км/ч. Обратно она ехала с постоянной скоростью, которая измерялась целым числом километров в час, причем путь до дома занял у нее больше времени, чем путь до института.
а) Могла ли ее средняя скорость за эти две поездки составить 70 км/ч?
б) Могла ли ее средняя скорость за эти две поездки оказаться равной целому числу километров в час?
в) Какое наибольшее целое число километров в час могла составлять ее средняя скорость за эти две поездки?
0,04 = 2,8 мг активного вещества. Суточная норма активного вещества для ребенка весом 8 кг составит: 1,05 
Далее имеем:
при известном значении температуры холодильника 
: 
К.
км/ч — скорость велосипедиста, тогда скорость автомобилиста равна 
км/ч. Велосипедист был в пути на 5 часов 24 минуты больше, отсюда имеем: 
заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение: 
где 
и 
а из второй — две точки: 
и 
б) 
откуда 
Тогда 
и плоскость ABC пересекает плоскость LMK по прямой, параллельной прямой BC, а, следовательно, параллельной LM. Таким образом, отрезок AD — средняя линия треугольника LMK и точка D — середина ребра LK.
Далее имеем:
при условии 
и 
имеем:
но величины углов 
и 
составляют половины величин углов 
и 
а значит, сумма углов 
Тогда величина угла 
и 
равны и, значит,сумма противоположных углов четырехугольника BDOE равна 180°. Следовательно, около него можно описать окружность.
а, значит, 
Углы 
и 
равны, так как опираются на одну и ту же дугу окружности, описанной около четырехугольника BDOE. Имеем:
Таким образом, треугольник ABC — прямоугольный и его площадь равна 
Тогда ежемесячные выплаты были равны: 
или 
получаем: 
на отрезке 
принимает каждое свое значение ровно один раз, а 
только в точке 
то полученная система имеет на этом отрезке единственное решение тогда и только тогда, когда уравнение 
имеет ровно одно решение на промежутке 
т. е. при 
или при 
(см. рис.).
км/ч.
км/ч, то 
км/ч.
— целое, то 
кратно 
Но 
кратно 
значит, 12800 кратно 
Так как 
то 
где 
При этом, так как 
то 
(*)
Тогда 
Данное выражение находится в интервале 
только при 
то есть 
Тогда 
Данное выражение не находится в интервале 
Тогда 
Данное выражение находится в интервале 
то есть 
км/ч, а тогда средняя скорость равна: 
км/ч.