Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 19 № 525458
i

Настя до­би­ра­лась от дома до ин­сти­ту­та на своем ав­то­мо­би­ле с по­сто­ян­ной ско­ро­стью 80 км/ч. Об­рат­но она ехала с по­сто­ян­ной ско­ро­стью, ко­то­рая из­ме­ря­лась целым чис­лом ки­ло­мет­ров в час, при­чем путь до дома занял у нее боль­ше вре­ме­ни, чем путь до ин­сти­ту­та.

а)  Могла ли ее сред­няя ско­рость за эти две по­езд­ки со­ста­вить 70 км/ч?

б)  Могла ли ее сред­няя ско­рость за эти две по­езд­ки ока­зать­ся рав­ной це­ло­му числу ки­ло­мет­ров в час?

в)  Какое наи­боль­шее целое число ки­ло­мет­ров в час могла со­став­лять ее сред­няя ско­рость за эти две по­езд­ки?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть ско­рость Насти на об­рат­ном пути со­ста­ви­ла x км/ч, а путь от дома до ин­сти­ту­та со­став­ля­ет S км. Тогда сред­няя ско­рость Насти будет равна V_ср= дробь: чис­ли­тель: 2S, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 80 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: x конец дроби конец дроби ;V_ср= дробь: чис­ли­тель: 160x, зна­ме­на­тель: x плюс 80 конец дроби км/ч.

а)  Нет, не могла. Пусть сред­няя ско­рость со­ста­ви­ла 70 км/ч. Тогда

дробь: чис­ли­тель: 160x, зна­ме­на­тель: x плюс 80 конец дроби =70 рав­но­силь­но 160x=70x плюс 5600 рав­но­силь­но 90x=5600 рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 560, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби ,

что про­ти­во­ре­чит це­ло­чис­лен­но­сти x.

б)  Да, могла. Если x=20 км/ч, то V_ср= дробь: чис­ли­тель: 160 умно­жить на 20, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби ;V_ср=32 км/ч.

в)  Чем боль­ше x, тем боль­ше сред­няя ско­рость. Так как дробь: чис­ли­тель: 160x, зна­ме­на­тель: x плюс 80 конец дроби   — целое, то 160x крат­но левая круг­лая скоб­ка x плюс 80 пра­вая круг­лая скоб­ка . Но 160 левая круг­лая скоб­ка x плюс 80 пра­вая круг­лая скоб­ка крат­но левая круг­лая скоб­ка x плюс 80 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­чит, 12800 крат­но левая круг­лая скоб­ка x плюс 80 пра­вая круг­лая скоб­ка . Так как 12800=2 в сте­пе­ни 9 умно­жить на 5 в квад­ра­те , то x плюс 80=2 в сте­пе­ни k умно­жить на 5 в сте­пе­ни m , где k\leqslant9,m\leqslant2. При этом, так как x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0;80 пра­вая круг­лая скоб­ка , то левая круг­лая скоб­ка x плюс 80 пра­вая круг­лая скоб­ка при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 80;160 пра­вая круг­лая скоб­ка . (*)

1)  m=0. Тогда x плюс 80=2 в сте­пе­ни k . Дан­ное вы­ра­же­ние на­хо­дит­ся в ин­тер­ва­ле левая круг­лая скоб­ка 80;160 пра­вая круг­лая скоб­ка толь­ко при k = 7, то есть x=48.

2)  m=1. Тогда x плюс 80=5 умно­жить на 2 в сте­пе­ни k . Дан­ное вы­ра­же­ние не на­хо­дит­ся в ин­тер­ва­ле левая круг­лая скоб­ка 80;160 пра­вая круг­лая скоб­ка ни при каких k.

3)  m=2. Тогда x плюс 80=25 умно­жить на 2 в сте­пе­ни k . Дан­ное вы­ра­же­ние на­хо­дит­ся в ин­тер­ва­ле левая круг­лая скоб­ка 80;160 пра­вая круг­лая скоб­ка толь­ко при k = 2, то есть x=20.

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее зна­че­ние сред­ней ско­ро­сти до­сти­га­ет­ся при x=48 км/ч, а тогда сред­няя ско­рость равна: V_ср= дробь: чис­ли­тель: 160 умно­жить на 48, зна­ме­на­тель: 128 конец дроби =60 км/ч.

 

Ответ: а) нет, б) да, в) 60 км/ч.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Верно по­лу­че­ны все пе­ре­чис­лен­ные (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­ты.4
Верно по­лу­че­ны три из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.3
Верно по­лу­че­ны два из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.2
Верно по­лу­чен один из сле­ду­ю­щий ре­зуль­та­тов:

— обос­но­ван­ное ре­ше­ние в п. а;

— при­мер в п. б;

— ис­ко­мая оцен­ка в п. в;

— при­мер в п. в, обес­пе­чи­ва­ю­щий точ­ность преды­ду­щей оцен­ки.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4

Аналоги к заданию № 525413: 525458 Все

Источник: Проб­ный ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, Санкт-Пе­тер­бург, 19.03.2019. Ва­ри­ант 2
Классификатор алгебры: Сю­жет­ные за­да­чи: кино, театр, мотки верёвки
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025