Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся друг друга внеш­ним об­ра­зом в точке К. Пря­мая р ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти в точке М, а вто­рой  — в точке N.

а)  До­ка­жи­те что рас­сто­я­ние от точки К до пря­мой р равно дробь: чис­ли­тель: MK умно­жить на KN, зна­ме­на­тель: MN конец дроби .

б)   Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка MNK, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны со­от­вет­ствен­но 12 и 3.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник MKN.

\angle MKN=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle MKO_2 минус \angle NKO_1=
=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle MO_2K пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle NO_1K пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка \angle MO_2K плюс \angle NO_1K пра­вая круг­лая скоб­ка =90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка ,

по­сколь­ку MO_2\parallel NO_1. Итак, этот тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный, по­это­му его вы­со­та, опу­щен­ная на ги­по­те­ну­зу, равна про­из­ве­де­нию ка­те­тов, де­лен­но­му на ги­по­те­ну­зу (это сле­ду­ет из фор­мул для пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка).

 

б)  В пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции NO_1O_2M вы­со­та MN равна ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: O_1O_2 в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка MO_2 минус NO_1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =12.

 

Рас­сто­я­ние от K до сто­ро­ны равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби O_1N плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби O_2M= дробь: чис­ли­тель: 24, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . Зна­чит, пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 24, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на 12= дробь: чис­ли­тель: 144, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 144, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 220
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти, Окруж­но­сти и си­сте­мы окруж­но­стей, Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки, Окруж­но­сти и четырёхуголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025