Ре­ше­ние. а)  Сде­ла­ем за­ме­ну По­лу­чим Но при­чем ра­вен­ства воз­мож­ны толь­ко при Зна­чит, от­ку­да

б)  На ука­зан­ном от­рез­ке лежат

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. Вве­дем ко­ор­ди­на­ты с на­ча­лом в точке A и с осями на­прав­лен­ны­ми вдоль пря­мых со­от­вет­ствен­но. Тогда ко­ор­ди­на­ты точек будут та­ки­ми: До­пу­стим урав­не­ние плос­ко­сти KMP имеет вид тогда

Пусть тогда и по­лу­ча­ем урав­не­ние

а)  По­сколь­ку век­тор имеет ко­ор­ди­на­ты он пер­пен­ди­ку­ля­рен дан­ной плос­ко­сти (ее век­тор нор­ма­ли ).

б)  Про­дле­вая пря­мую KM до пе­ре­се­че­ния с пря­мы­ми DC и DA и со­еди­няя затем по­лу­чен­ные точки с точ­кой P мы по­лу­чим тре­бу­е­мое се­че­ние. То есть оно пред­став­ля­ет собой пя­ти­уголь­ник с вер­ши­на­ми и еще двумя на реб­рах и По­это­му его про­ек­ция на плос­кость ABCD  — пя­ти­уголь­ник ADCMK пло­ща­ди Кроме того,

Тогда

Ответ:

Ре­ше­ние. При пе­ре­пи­шем не­ра­вен­ство в виде

Оче­вид­но это верно при всех Это и есть ответ.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что обе окруж­но­сти про­хо­дят через ос­но­ва­ние вы­со­ты, опу­щен­ной из A на пря­мую BC (по­сколь­ку центр опи­сан­ной окруж­но­сти пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка - как раз се­ре­ди­на ги­по­те­ну­зы). Зна­чит, это и есть точка M и она лежит на пря­мой

б)  Как из­вест­но, Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. Оче­вид­но сумма вы­плат была мень­ше, чем по­это­му вы­плат было мак­си­мум 4. До­пу­стим сумма кре­ди­та была S и раз­бе­рем слу­чаи.

Если кре­дит взят на один год, то а вовсе не

Если на два года, то по­это­му

Если на три года, то по­это­му

А для че­ты­рех лет все как раз сой­дет­ся.

Ответ: 4 года.

Ре­ше­ние. За­пи­шем не­ра­вен­ство в виде Сразу от­ме­тим, что при за­ме­не a на не­ра­вен­ство не ме­ня­ет­ся. По­это­му будем счи­тать, что Те­перь раз­бе­рем слу­чаи.

Тогда там пять целых точек.

Тогда там че­ты­ре целые точки  —

Тогда там че­ты­ре целые точки  —

Тогда Не­труд­но ви­деть, что при целых a там по целых точки, а при не­це­лых  — по три.

Тогда там че­ты­ре целые точки  —

Тогда там че­ты­ре целые точки  —

При целых точек ста­но­вит­ся ми­ни­мум

Ответ

Ре­ше­ние. а)  Шах­ма­ти­сты из Рос­сии сыг­ра­ли между собой 15 пар­тий, в ко­то­рых было разыг­ра­но 15 очков. По­это­му сумма не может быть мень­ше 15.

б)  Даже если шах­ма­ти­сты из Рос­сии вы­иг­ра­ли у всех осталь­ных, это дает лишь очков, по­это­му очков быть не может.

в)  На­зо­вем Васей по­бе­ди­те­ля тур­ни­ра, а Джо­ном  — шах­ма­ти­ста, за­няв­ше­го вто­рое место. Если Джон вы­иг­рал у про­чих ино­стран­цев и сыг­рал вни­чью со всеми рос­си­я­на­ми, Вася вы­иг­рал у всех, кроме Джона, про­чие рос­си­я­не между собой иг­ра­ли вни­чью, как и про­чие ино­стран­цы, а в осталь­ных пар­ти­ях рос­си­я­не все­гда по­беж­да­ли, то у Васи будет очков, у Джона у про­чих рос­си­ян по а у про­чих ино­стран­цев по Все усло­вия вы­пол­не­ны, а у рос­си­ян очков.

До­ка­жем, что боль­ше быть не может. Если рос­си­я­не по­те­ря­ли в пар­ти­ях с ино­стран­ца­ми менее трех очков, то Джон имеет не более очков, тогда осталь­ные рос­си­я­не  — мак­си­мум по и их общее число очков не пре­вос­хо­дит Про­ти­во­ре­чие.

Ответ: а) Нет; б) Нет; в) 96.