ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 521483 Добавить в вариант

Найдите все а, при каждом из которых неравенство $дробь: числитель: a в квадрате минус 4x минус 5, знаменатель: x в квадрате минус 4x минус 5 конец дроби \geqslant1$ имеет ровно четыре целочисленных решения. Для каждого такого укажите эти решения.

Спрятать решение

Решение.

Запишем неравенство в виде $дробь: числитель: левая круглая скобка a минус x правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0.$ Сразу отметим, что при замене a на $минус a$ неравенство не меняется. Поэтому будем считать, что $a больше или равно 0.$ Теперь разберем случаи.

$a=0.$ Тогда $x принадлежит левая круглая скобка минус 1;5 правая круглая скобка ,$ там пять целых точек.

$a принадлежит левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка .$ Тогда $x принадлежит левая круглая скобка минус 1; минус a правая круглая скобка \cup левая круглая скобка a;5 правая круглая скобка ,$ там четыре целые точки  — $1,2,3,4.$

$a=1.$ Тогда $x принадлежит левая квадратная скобка 1;5 правая круглая скобка ,$ там четыре целые точки  — $1,2,3,4.$

$a принадлежит левая круглая скобка 1;5 правая круглая скобка .$ Тогда $x принадлежит левая квадратная скобка минус a; минус 1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка a;5 правая круглая скобка .$ Нетрудно видеть, что при целых a там по $4$ целых точки, а при нецелых  — по три.

$a=5.$ Тогда $x принадлежит левая квадратная скобка минус 5; минус 1 правая круглая скобка ,$ там четыре целые точки  — $минус 5, минус 2, минус 3, минус 4.$

$a принадлежит левая круглая скобка 5;6 правая круглая скобка .$ Тогда $x принадлежит левая квадратная скобка минус a; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 5;a правая круглая скобка ,$ там четыре целые точки  — $минус 5, минус 2, минус 3, минус 4.$

При $a больше или равно 6$ целых точек становится минимум $5.$

Ответ $a принадлежит левая круглая скобка минус 6;5 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 5;6 правая круглая скобка ,$ $x= минус 5; минус 4; минус 3; минус 2$

$a=\pm 4,$ $x=\pm 4; минус 3; минус 2$

$a=\pm 3,$ $x= минус 2;4;\pm 3$

$a=\pm 2,$ $x=\pm 2;3;4$

$a принадлежит левая квадратная скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая квадратная скобка ,$ $x=1;2;3;4$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 214

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь