Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Пусть тогда по­лу­чим:

Тогда или Вто­рая серия не­воз­мож­на, а пер­вая дает

б)  Ясно, что при зна­че­ния по­па­да­ют на нуж­ный про­ме­жу­ток. Дру­гих нет, по­сколь­ку про­ме­жу­ток пред­став­ля­ет на окруж­но­сти как раз один обо­рот (а не под­хо­дит в урав­не­ние). По­лу­чим:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Центр сферы лежит на всех би­сек­то­рах дву­гран­ных углов пи­ра­ми­ды. Би­сек­то­ром дву­гран­но­го угла при ребре PC будет плос­кость PCK (оче­вид­но, на­при­мер, что K рав­но­уда­ле­на от бо­ко­вых гра­ней PCA и PCB, а по­то­му лежит на би­сек­то­ре). По­сколь­ку пря­мая AB пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой PK, пря­мая AB пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой CK (ме­ди­а­ны рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков яв­ля­ют­ся и вы­со­та­ми), то пря­мая AB пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой PCK, по­это­му пер­пен­ди­ку­ляр из цен­тра сферы, про­ве­ден­ный к пря­мой PK, пер­пен­ди­ку­ля­рен за­од­но и Зна­чит, он пер­пен­ди­ку­ля­рен всей плос­ко­сти и его ос­но­ва­ние ле­жа­щее на PK  — точка ка­са­ния сферы с гра­нью.

б)  Имеем:

По­сколь­ку все бо­ко­вые ребра равны, вы­со­та пи­ра­ми­ды па­да­ет в центр опи­сан­ной окруж­но­сти ос­но­ва­ния, ра­ди­ус ко­то­рой равен:

По­это­му рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти O до AB равно:

Зна­чит, вы­со­та пи­ра­ми­ды может быть най­де­на из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

Тогда объем пи­ра­ми­ды равен:

Бо­ко­вое ребро пи­ра­ми­ды равно:

Те­перь вы­чис­лим бо­ко­вую по­верх­ность пи­ра­ми­ды. Пло­ща­ди ниж­ней грани из­вест­на, APB  — рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник с ос­но­ва­ни­ем и вы­со­той его пло­щадь осталь­ные грани  — рав­но­сто­рон­ние тре­уголь­ни­ки с ос­но­ва­ни­ем и пло­ща­ди

На­ко­нец,

Ответ:

Ре­ше­ние. Най­дем сна­ча­ла ОДЗ:

Итак, не­ра­вен­ство опре­де­ле­но при При этих x зна­ме­на­тель по­ло­жи­те­лен, по­это­му на него можно не об­ра­щать вни­ма­ния. Имеем:

Обо­зна­чим

Пе­рейдём к ос­нов­ной пе­ре­мен­ной:

Учи­ты­вая ОДЗ, по­лу­ча­ем ответ:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Из рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка DAK имеем:

Из рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка DPC имеем:

по­это­му:

Зна­чит, P лежит на пря­мой

б)  Имеем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Роман через три года по­лу­чит тысяч, а Абрам  — По усло­вию:

Ответ:109091 тыс. руб.

Ре­ше­ние. Сразу за­ме­тим, что Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Если урав­не­ние при­мет вид у него боль­ше двух кор­ней. Далее счи­та­ем Имеем:

Если мы хотим более двух кор­ней, то все эти числа долж­ны быть раз­лич­ны­ми ( ) и ле­жать в ОДЗ. То есть:

Ответ:

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим число куп­лен­ных боль­ших раков за x, сред­них за y, ма­лень­ких за Тогда:

Кроме того на­зо­вем ком­плек­том набор из трех раков раз­но­го вида. Ва­си­лий купит не­сколь­ко ком­плек­тов и еще не более двух раков каж­до­го вида, при­чем каких-то не купит вовсе (иначе можно сде­лать еще один ком­плект). Ком­плект стоит руб­лей.

а)  Если ку­пить ком­плек­тов, а потом еще двух боль­ших и од­но­го ма­лень­ко­го рака, сто­и­мость будет как раз

б)  Из боль­ших раков ми­ни­мум вхо­дят в ком­плек­ты. Но ком­плек­тов стоят уже

в)  Если ку­пить ком­плек­тов, то оста­нет­ся руб­лей и уже ни­че­го не ку­пишь. Это 33 рака. Если ку­пить ком­плек­тов, то оста­нет­ся руб­лей. На них можно ку­пить не более че­ты­рех раков (два ма­лень­ких и два сред­них). Это 34 рака. Если ку­пить не более ком­плек­тов и еще не более раков, по­лу­чит­ся не более рака.

Ответ: а) да; б) нет; в) 34.