ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д19 C7 № 521269 Добавить в вариант

Василий Кузякин возвращался из санатория домой на поезде. На перроне одной из ж/д станций продавали варёных раков: больших  — по 200 рублей за штуку, средних  — по 150 рублей за штуку и маленьких  — по 100 рублей за штуку. Василий решил потратить на покупку раков последние пять тысяч рублей. Для себя он определил, что непременно купит и больших, и средних, и маленьких, причём их количества не будут отличаться более, чем на 2.

а)  Сможет ли Василий при таких условиях купить раков ровно на 5000 рублей?

б)  Сможет ли Василий при таких условиях купить 14 больших раков?

в)  Какое наибольшее число раков сможет купить Василий при таких условиях?

Спрятать решение

Решение.

Обозначим число купленных больших раков за x, средних за y, маленьких за $z.$ Тогда:

$200x плюс 150y плюс 100z меньше или равно 5000 равносильно 4x плюс 3y плюс 2z меньше или равно 100.$

Кроме того назовем комплектом набор из трех раков разного вида. Василий купит несколько комплектов и еще не более двух раков каждого вида, причем каких-то не купит вовсе (иначе можно сделать еще один комплект). Комплект стоит $450$ рублей.

а)  Если купить $10$ комплектов, а потом еще двух больших и одного маленького рака, стоимость будет как раз $5000.$

б)  Из $14$ больших раков минимум $12$ входят в комплекты. Но $12$ комплектов стоят уже $5400$

в)  Если купить $11$ комплектов, то останется $50$ рублей и уже ничего не купишь. Это 33 рака. Если купить $10$ комплектов, то останется $500$ рублей. На них можно купить не более четырех раков (два маленьких и два средних). Это 34 рака. Если купить не более $9$ комплектов и еще не более $4$ раков, получится не более $31$ рака.

Ответ: а) да; б) нет; в) 34.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 196

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь