PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 521256 
Классификатор алгебры: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Группировка, Формулы двойного угла
Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа
i
Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Преобразуем уравнение:
Вторая скобка не может обнуляться, поскольку 
и эти неравенства не обращаются в равенства одновременно. Значит, 
то есть 
б) С помощью тригонометрического круга отберем корень. Получим 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 521256
а) б)
б) 
делит диагональ 
куба в отношении 1 : 2. 
если известно, что ребро куба равно 2.
и параллельные им плоскости (они сами параллельны, поскольку прямая 
параллельна прямой 
и прямая 
параллельна прямой AC), проходящие через вершины 
и 
Отрезки 
равны, параллельны и лежат своими концами на этих плоскостях, поэтому расстояния между соседними плоскостями одинаковы (и равны длине 
умноженной на синус угла, образуемого 
объем которых легко считается.
имеем 
поэтому можно поделить на 
— положительное число.
или 
обе части неравенства обращаются в 0, неравенство верно.
или 
имеем 
поэтому можно поделить на 
— положительное число. Имеем:
Пусть O — центр окружности. Тогда CO и DO — биссектрисы соответствующих углов и 
По теореме Пифагора в треугольнике COD имеем
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны, поэтому: 
Она отсечет от трапеции треугольник со сторонами 13, 37, 45 − 5 = 40. Найдем его площадь по формуле Герона. Имеем:
и площадь трапеции составляет 
всей нефти, оказалось, что время, необходимое для завершения работы, в 
раза меньше времени, за которое мог бы перекачать всю нефть один I‐й насос. Кроме того, известно, что если бы из второго резервуара нефть перекачивал только II‐й насос, то ему для этого потребовалось бы вдвое больше времени, нежели I‐ому насосу для перекачки всей нефти из обоих резервуаров. Определите, во сколько раз производительность I‐го насоса больше производительности II‐го.
литр в час, а объем второго резервуара 
то есть 
Возможны два варианта.
Тогда момент, когда перекачана треть всей нефти, приходится на работу первого насоса. Им осталось работать еще 
тогда 
и первый насос быстрее в шесть раз.
Тогда момент, когда перекачана треть всей нефти, приходится на совместную работу насосов. Им осталось работать еще 
Ясно что 
при 
поэтому будем искать наибольшее значение только на 
то есть 
то модуль на всем промежутке раскрывается с одним и тем же знаком, 
Тогда наша функция — квадратный трехчлен, он принимает наибольшее значение либо при 
(если эта точка лежит на интервале!), либо на концах отрезка. Значит, нужно сравнить числа:
при 
или 
при 
Во втором 
график — парабола ветвями вниз, поэтому наибольшее значение именно в вершине и равно 
Если же 
то функция устроена так: 
при 
и 
при 
На промежутке 
следовательно, функция возрастает, а на промежутке 
имеет наибольшее значение при 
как и в предыдущем случае. Осталось сравнить 
и 
наибольшее значение 
а при 
наибольшее значение 
будет 
при прочих a 
Ясно, что сумма в группе должна быть делителем этого числа и быть не меньше 
(иначе число 
а групп максимум 
Это возможно: 
