ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д19 C7 № 521223 Добавить в вариант

Назовем квадратное уравнение $ax в квадрате плюс bx плюс c = 0$ с натуральными коэффициентами a ,b и c «простым», если a ,b и c не имеют кроме 1, других общих делителей.

а)  Найти все значения b , для которых «простое» уравнение $5x в квадрате плюс bx плюс 3 = 0$ имеет хотя бы одно целое решение,

б)  Докажите, что «простое» уравнение $3x в квадрате плюс bx плюс c = 0$ не имеет целых решений, если b кратно 3,

в)  Докажите, что если $b больше или равно 4$ и не кратно 3, найдется такое «с», что простое уравнение $3x в квадрате плюс bx плюс c = 0$ имеет целое решение.

Спрятать решение

Решение.

Для того, чтобы у квадратного уравнения с целыми коэффициентами был целый (и даже просто рациональный) корень, необходимо (но недостаточно для целого), чтобы дискриминант был квадратом целого числа.

а)  Имеем $D=b в квадрате минус 60=t в квадрате ,$ тогда $левая круглая скобка b минус t правая круглая скобка левая круглая скобка b плюс t правая круглая скобка =60.$ Ясно что $b минус t$ и $b плюс t$   — либо оба нечетны, либо оба четны (их сумма $2b$ четна). Далее, можно считать, что $t больше или равно 0$ и $b больше 0$ по условию. Значит, они $b плюс t$ и $b минус t$ оба четны, причем первое число больше. Остаются варианты $60=10 умножить на 6=30 умножить на 2.$

В первом случае $b=8,$ $t=2,$ уравнение $5x в квадрате плюс 8x плюс 3=0$ имеет корень $минус 1.$

Во втором случае $b=16,$ $t=14,$ уравнение $5x в квадрате плюс 16x плюс 3=0$ имеет корень $минус 3.$

б)   $D=b в квадрате минус 12c$ кратно $3,$ поскольку b и $12$ кратны $3.$ Но не кратно $9,$ поскольку $b в квадрате$ кратно $9,$ а c не кратно $3$ (иначе уравнение сокращалось бы на $3$ ). Но квадрат не может делиться на $3$ и не делиться на $9.$

в)  Возьмем в качестве c число $b минус 3.$ Оно не кратно $3,$ поскольку b не кратно $3.$ Тогда уравнение $3x в квадрате плюс bx плюс левая круглая скобка b минус 3 правая круглая скобка =0$ будет простым и будет иметь корень $x= минус 1.$

Ответ: а) 8, 16.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 190

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь