Ре­ше­ние. а)  Решим урав­не­ние

За­ме­тим, что ре­ше­ния этого урав­не­ния су­ще­ству­ют толь­ко при При дру­гих зна­че­ни­ях k пра­вая часть урав­не­ния по мо­ду­лю боль­ше 1. По­это­му урав­не­ние рав­но­силь­но со­во­куп­но­сти

б)  Решим не­ра­вен­ство

Отберём корни ис­ход­но­го урав­не­ния на от­рез­ке с по­мо­щью три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти. По­лу­чим че­ты­ре числа

Их сумма равна:

Ответ: а)

Ре­ше­ние. а)  Ис­сле­ду­ем, в каком от­но­ше­нии SK де­лит­ся от­рез­ком Пусть это от­но­ше­ние равно Обо­зна­чим их точку пе­ре­се­че­ния за T, Тогда:

по­сколь­ку если опу­стить на CS пер­пен­ди­ку­ля­ры из T и K, то тре­уголь­ни­ки по­лу­чат­ся по­доб­ны­ми с ко­эф­фи­ци­ен­том По усло­вию:

Тогда:

Итак, точка T делит от­ре­зок SK в том же от­но­ше­нии, в ко­то­ром его долж­на де­лить бис­сек­три­са  — в от­но­ше­нии осталь­ных двух сто­рон. Зна­чит, CT и есть бис­сек­три­са.

б)  Эти мно­го­гран­ни­ки  — пи­ра­ми­ды с общей вы­со­той из По­это­му от­но­ше­ние их объ­е­мов равно от­но­ше­нию пло­ща­дей ос­но­ва­ний SMN и В тре­уголь­ни­ке SCK имеем и по­это­му

по­это­му

Зна­чит, и пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков SMN и SAB от­но­сят­ся как а нуж­ные нам пло­ща­ди  — как

Ответ:

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство и ра­ци­о­на­ли­зи­ру­ем его:

Оче­вид­но пер­вая скоб­ка все­гда по­ло­жи­тель­на, когда опре­де­ле­на. По­это­му един­ствен­ная воз­мож­ность  — взять для него по­лу­чит­ся 0.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Из усло­вия про пло­ща­ди сле­ду­ет, что За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки ABC и EBA по­доб­ны по двум углам: (пер­вый  — угол между ка­са­тель­ной и хор­дой к боль­шой окруж­но­сти, вто­рой  — впи­сан­ный угол в ней же, оба равны по­ло­ви­не дуги AB) и ана­ло­гич­но Ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен по­это­му

б)  Из того же по­до­бия по­лу­ча­ем, что По свой­ству бис­сек­три­сы тогда Имеем:

Ответ: а)

Ре­ше­ние. До­пу­стим пен­сия со­став­ля­ла x сотен руб­лей. Тогда по плану пен­си­о­нер по­лу­чал бы 6 ме­ся­цев пен­сию и еще 6 ме­ся­цев пен­сию итого сумма за год со­ста­ви­ла бы В ре­аль­но­сти он по­лу­чил

По усло­вию:

от­ку­да наи­боль­шая пен­сия равна руб­лей.

Ответ: 13700.

Ре­ше­ние. Не­ра­вен­ство рав­но­силь­но двой­но­му не­ра­вен­ству

Итак, на ин­тер­ва­ле длины 1 долж­ны ле­жать ровно две сте­пе­ни числа За­ме­тим, что при

по­это­му две такие сте­пе­ни на один от­ре­зок не за­гнать. С дру­гой сто­ро­ны если то:

по­это­му мень­шая из сте­пе­ней не может иметь по­ка­за­тель 2 или боль­ше  — вме­сте с ней тогда будут еще ми­ни­мум две сте­пе­ни. Итак, эти две сте­пе­ни долж­ны вы­би­рать­ся из чисел Ясно, что они долж­ны быть со­сед­ни­ми в этом ряду.

За­пи­шем не­ра­вен­ство в виде

Тогда два из чисел долж­ны ле­жать на ин­тер­ва­ле а число там ле­жать не долж­но. Пер­вые два числа лежат на этом ин­тер­ва­ле при (даль­ше нель­зя, по­па­дет и тре­тье, рань­ше нель­зя, по­па­дет 0,890625). Вто­рое и тре­тье числа там лежат при Тре­тье и чет­вер­тое числа там лежат при

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Все де­ли­те­ли этого числа имеют вид где и сте­пе­ни вы­би­ра­ют­ся не­за­ви­си­мо, по­это­му всего есть ва­ри­ан­тов их вы­брать.

б)  Оче­вид­но это чет­ное число (по­это­му де­лит­ся на 2) и боль­ше двух. Зна­чит, оно со­став­ное.

в)  Пусть По со­об­ра­же­ни­ям, ана­ло­гич­ным п. а), на­хо­дим, что число де­ли­те­лей x равно Имеем: это урав­не­ние имеет де­ли­те­лей. Ана­ло­гич­но имеет де­ли­те­лей. По усло­вию имеем:

Упро­ща­ем:

Зна­чит, эти мно­жи­те­ли либо либо либо в каком-то по­ряд­ке, либо в каком-то по­ряд­ке. От­ри­ца­тель­ные не­воз­мож­ны, по­сколь­ку Ва­ри­ант дает а ва­ри­ант дает или на­о­бо­рот.

Ответ: а) в)