Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C6 № 521186

Определите, при каких значениях параметра а неравенство

\left| левая круглая скобка дробь, числитель — 5, знаменатель — 8 правая круглая скобка в степени x минус a | меньше 0,5.

 

имеет ровно 2 целочисленных решения.

Решение.

Неравенство равносильно двойному неравенству

 минус 0,5 плюс a меньше 0,625 в степени x меньше 0,5 плюс a.

Итак, на интервале длины 1 должны лежать ровно две степени числа  дробь, числитель — 5, знаменатель — 8 . Заметим, что при x меньше или равно минус 2

 левая круглая скобка дробь, числитель — 5, знаменатель — 8 правая круглая скобка в степени минус x минус 1 минус левая круглая скобка дробь, числитель — 5, знаменатель — 8 правая круглая скобка в степени минус x = левая круглая скобка дробь, числитель — 5, знаменатель — 8 правая круглая скобка в степени минус x умножить на дробь, числитель — 3, знаменатель — 5 больше или равно левая круглая скобка дробь, числитель — 8, знаменатель — 5 правая круглая скобка в степени 2 умножить на дробь, числитель — 3, знаменатель — 5 больше 1,

поэтому две такие степени на один отрезок не загнать. С другой стороны если x больше или равно 0, то:

 левая круглая скобка дробь, числитель — 5, знаменатель — 8 правая круглая скобка в степени x минус левая круглая скобка дробь, числитель — 5, знаменатель — 8 правая круглая скобка в степени x плюс 2 = левая круглая скобка дробь, числитель — 5, знаменатель — 8 правая круглая скобка в степени x умножить на дробь, числитель — 39, знаменатель — 64 меньше или равно дробь, числитель — 39, знаменатель — 64 ,

поэтому меньшая из степеней не может иметь показатель 2 или больше — вместе с ней тогда будут еще минимум две степени. Итак, эти две степени должны выбираться из чисел  дробь, числитель — 5, знаменатель — 8 , 1,  дробь, числитель — 8, знаменатель — 5 ,  дробь, числитель — 64, знаменатель — 25 . Ясно, что они должны быть соседними в этом ряду.

Запишем неравенство в виде

a меньше левая круглая скобка дробь, числитель — 5, знаменатель — 8 правая круглая скобка в степени x плюс 0,5 меньше a плюс 1.

Тогда два из чисел 1,125; 1,5; 2,1; 3,06 должны лежать на интервале (a;a плюс 1), а число  дробь, числитель — 25, знаменатель — 64 плюс 0,5=0,890625 там лежать не должно. Первые два числа лежат на этом интервале при a принадлежит [0,890625;1,1) (дальше нельзя, попадет и третье, раньше нельзя, попадет 0,890625). Второе и третье числа там лежат при a принадлежит [1,125;1,5). Третье и четвертое числа там лежат при a принадлежит (2,06; 2,1).

 

Ответ: [0,890625;1,1)\cup [1,125;1,5) \cup (2,06; 2,1).

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 185.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Неравенства с параметром