СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 521084

В каждой клетке таблицы размером записаны числа от 1 до 9 (см рис.). За один ход разрешается к двум соседним числам (клетки имеют общую сторону) прибавить одно и то же целое число.

 

456
987
123

 

а) Можно ли таким образом получить таблицу, во всех клетках которой будут одинаковые числа?

б) Можно ли таким образом получить таблицу, составленную из одной единицы в центре и восьми нулей?

в) После нескольких ходов в таблице оказались восемь нулей и какое‐то число N, отличное от нуля. Найдите все возможные N

Решение.

Сумма чисел в угловых клетках и в центральной равна 22, а в остальных равна 23. Каждое прибавление добавляет к этим суммам равную величину, поэтому их разность всегда равна −1. Допустим в итоге получились одинаковые числа x. Тогда откуда Осталось это реализовать:

б) Нет, поскольку разность между суммами угловых с центральной и остальных клеток всегда равна −1, а на приведенной картинке она равна 1.

в) Аналогично предыдущему пункту получаем, что последнее число должно быть равно 1 или −1. Оба примера легко реализуются: можно взять квадрат, заполненный числами −1 (см. пункт а), а потом прибавить по единице ко всем восьми клеткам, кроме центральной (на это понадобится четыре действия). А если потом еще прибавить 1 к центральной клетке и клетке на стороне, то будет пример для единицы.

 

Ответ: а) да; б) нет; в)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 173.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства