Ре­ше­ние. а)За­пи­шем ис­ход­ное урав­не­ние в виде:

Зна­чит, от­ку­да или от­ку­да

б)  За­ме­тим, что Зна­чит, ука­зан­но­му от­рез­ку при­над­ле­жит ко­рень

Ответ: а) и б)

Ре­ше­ние. а)  По­сколь­ку

б)  Пусть  — се­ре­ди­на тогда угол между пря­мой и плос­ко­стью грани равен углу между этой плос­ко­стью и пря­мой

Обо­зна­чим через пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный на Пря­мая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти грани по­сколь­ку она пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мым и По­это­му ис­ко­мый угол равен углу

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке :

от­ку­да

Ответ: б) 30°.

При­ведём век­тор­ное ре­ше­ние Де­ни­са Чер­нышёва (Тю­мень).

а)  Вве­дем век­то­ры как по­ка­за­но на ри­сун­ке, и вы­ра­зим через введённый базис век­то­ры

Бо­ко­вое ребро пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния, а зна­чит, и любой ле­жа­щей в ней пря­мой, по­это­му от­ку­да

Под­став­ляя по­лу­чим

Зна­чит, пря­мые B₁C и C₁M пер­пен­ди­ку­ляр­ны, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть ис­ко­мый угол между пря­мой C₁M и плос­ко­стью грани ABB₁A₁ равен α. Чтобы найти его, нужно знать век­тор, пер­пен­ди­ку­ляр­ный к плос­ко­сти Это век­тор Тогда

Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем:

Зна­чит,

При­ве­дем ре­ше­ние Ивана Ива­но­ва (Вла­ди­во­сток).

а)  Введём пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат: по­ме­стим на­ча­ло ко­ор­ди­нат в точку A, ось Ox на­пра­вим вдоль пря­мой AB, ось Oy  — пер­пен­ди­ку­ляр­но AB в плос­ко­сти ABC так, чтобы ор­ди­на­та точки C была по­ло­жи­тель­ной, а ось Oz на­пра­вим вдоль пря­мой AA₁ (см. рис.). В дан­ной си­сте­ме ко­ор­ди­нат на­хо­дим ко­ор­ди­на­ты точек:

Далее на­хо­дим:

Ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров равно нулю, зна­чит, век­тор пер­пен­ди­ку­ля­рен век­то­ру Эти век­то­ры яв­ля­ют­ся на­прав­ля­ю­щи­ми век­то­ра­ми пря­мых B₁C и C₁M сле­до­ва­тель­но, эти пря­мые пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Плос­кость грани ABB₁A₁  — это плос­кость Axz, урав­не­ние ко­то­рой имеет вид y  =  0. Еди­нич­ный век­тор нор­ма­ли к этой плос­ко­сти имеет вид Синус угла φ между пря­мой и плос­ко­стью равен мо­ду­лю ко­си­ну­са угла между на­прав­ля­ю­щим век­то­ром пря­мой и нор­ма­лью к плос­ко­сти, то есть ко­си­ну­су угла между на­прав­ля­ю­щим век­то­ром пря­мой C₁M и нор­ма­лью к плос­ко­сти грани ABB₁A₁:

зна­чит, ис­ко­мый угол равен 30°.

Ре­ше­ние. Пусть тогда не­ра­вен­ство при­мет вид:

от­ку­да

При по­лу­чим: от­ку­да

При по­лу­чим: от­ку­да

Ре­ше­ние ис­ход­но­го не­ра­вен­ства:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Лучи CO и DO яв­ля­ют­ся бис­сек­три­са­ми углов BCD и ADC со­от­вет­ствен­но, по­это­му

то есть пря­мые CO и DO пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

По­лу­ча­ем

б)  Лучи AO и BO яв­ля­ют­ся бис­сек­три­са­ми пря­мым углов BAD и ABC со­от­вет­ствен­но, по­это­му тре­уголь­ник  AOB рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный. Зна­чит, По­сколь­ку пря­мые CO и DO пер­пен­ди­ку­ляр­ны, по­лу­ча­ем:

Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки AOM и BOC равны и нужно найти пло­щадь од­но­го из них.

Пусть окруж­ность ка­са­ет­ся сто­рон AB, BC, CD и AD в точ­ках E, F, G и H со­от­вет­ствен­но, а её ра­ди­ус равен r. Тогда

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке COD имеем:

от­ку­да Зна­чит,

Ответ: б) 30.

Ре­ше­ние. До­пу­стим, что на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, ра­бо­чие тру­дят­ся x² часов, а на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, y² часов. Тогда в не­де­лю будет про­из­ве­де­но еди­ниц то­ва­ра, а за­тра­ты на опла­ту труда со­ста­вят руб­лей. В этом слу­чае нужно найти наи­мень­шее зна­че­ние при усло­вии Вы­ра­зим y через x:

при После пре­об­ра­зо­ва­ния по­лу­ча­ем

Наи­мень­шее зна­че­ние квад­рат­но­го трёхчле­на до­сти­га­ет­ся при причём При этом зна­че­нии по­лу­ча­ем

Ответ: 700 000 руб­лей.

Ре­ше­ние. Ис­ход­ное урав­не­ние рав­но­силь­но урав­не­нию

Рас­смот­рим два слу­чая.

Пер­вый слу­чай: По­лу­ча­ем при

Вто­рой слу­чай: при усло­вии По­лу­ча­ем Усло­вие при­ни­ма­ет вид:

Ко­рень урав­не­ния при­над­ле­жит от­рез­ку при

Ко­рень урав­не­ния при­над­ле­жит от­рез­ку при

Корни урав­не­ния и сов­па­да­ют при

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке при и

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  На­при­мер, из числа 7 814 236 по­лу­ча­ет­ся каж­дое из чисел: 123, 426, 786.

б)  В пе­ре­чис­лен­ных чис­лах встре­ча­ют­ся все цифры от 1 до 9, зна­чит, каж­дая из этих цифр долж­на при­сут­ство­вать в де­вя­ти­знач­ном числе по од­но­му разу. Тогда цифра 3 долж­на сле­до­вать в за­пи­си после цифры 1, 5  — после 3, 7  — после 5, 1  — после 7. Таким об­ра­зом, еди­ни­ца долж­на сле­до­вать в за­пи­си после самой себя, что не­воз­мож­но.

в)  За­ме­тим, что из ис­ко­мо­го числа долж­ны по­лу­чать­ся числа 11, 22 и 33, по­это­му в его за­пи­си долж­ны при­сут­ство­вать не менее двух еди­ниц, двух двоек и двух троек и каж­дая из осталь­ных цифр. То есть в числе долж­но быть не мень­ше 13 цифр. Три­на­дца­ти­знач­ное число 1 231 234 056 789 удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи.

По­ка­жем, что не су­ще­ству­ет мень­ше числа, удо­вле­тво­ря­ю­ще­го усло­вию за­да­чи. Для каж­до­го раз­ря­да числа, на­чи­ная от стар­ше­го, будем вы­би­рать наи­мень­шую воз­мож­ную цифру. Пер­вая цифра не может быть мень­ше 1. За­ме­тим, что нуль дол­жен идти после четвёрки, по­сколь­ку иначе нель­зя по­лу­чить число 40; между двумя еди­ни­ца­ми долж­ны быть двой­ка и трой­ка, по­сколь­ку иначе нель­зя по­лу­чить числа 21 и 31, по­это­му вто­рая цифра долж­на быть 2. Между двумя двой­ка­ми долж­на быть трой­ка, по­сколь­ку иначе нель­зя по­лу­чить число 32, по­это­му тре­тья цифра долж­на быть 3. Далее можно ис­поль­зо­вать по по­ряд­ку наи­мень­шие остав­ши­е­ся цифры, кроме нуля, до тех пор, пока не по­явит­ся четвёрка. После неё дол­жен идти нуль, а затем остав­ши­е­ся цифры в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ответ: а)  на­при­мер, 7 814 236; б)  нет; в)  1 231 234 056 789.