В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, CH  — вы­со­та, AB  =  51, Най­ди­те AH.

Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 43 и 73. Ко­си­нус остро­го угла тра­пе­ции равен  Най­ди­те бо­ко­вую сто­ро­ну.

Пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная приз­ма опи­са­на около ци­лин­дра, ра­ди­ус ос­но­ва­ния и вы­со­та ко­то­ро­го равны 1. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы.

Во сколь­ко раз умень­шит­ся объем ко­ну­са, если его вы­со­та умень­шит­ся в 3 раза, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния оста­нет­ся преж­ним?

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций и ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют­ся в точке A. Най­ди­те абс­цис­су точки A.

Точки P и Q  — се­ре­ди­ны рёбер AD и CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые B₁P и QB пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния куба плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку P и пер­пен­ди­ку­ляр­ной пря­мой BQ, если ребро куба равно 10.

Внут­ри тре­уголь­ни­ка ABC, в ко­то­ром вы­бра­на точка Q такая, что S_ABQ : S_ACQ : S_CBQ  =  1 : 2 : 4. Пря­мые CQ и AQ пе­ре­се­ка­ют сто­ро­ны AB и BC со­от­вет­ствен­но в точ­ках K и L. Из­вест­но, что точки A, K, L и C лежат на одной окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те квад­рат рас­сто­я­ния от точки Q до цен­тра впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC окруж­но­сти, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 7.

Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.