Ост­рый угол ромба равен 30°. Ра­ди­ус впи­сан­ной в этот ромб окруж­но­сти равен 2. Най­ди­те сто­ро­ну ромба.

Через концы А и В дуги окруж­но­сти с цен­тром О про­ве­де­ны ка­са­тель­ные АС и ВС. Угол СAB равен 17°. Най­ди­те угол AОB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Диа­го­наль куба равна 6. Най­ди­те пло­щадь его по­верх­но­сти.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 3 и 4. Пло­щадь её по­верх­но­сти равна 72. Най­ди­те бо­ко­вое ребро приз­мы.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те зна­че­ние x, при ко­то­ром

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD точка M  — се­ре­ди­на ребра AB. Через точку M про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная плос­ко­сти SBC и пе­ре­се­ка­ю­щая ребро SD в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что K  — се­ре­ди­на ребра SD.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды SABCD, если AB  =  12, а угол между пря­мой MK и плос­ко­стью ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равен 60°.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на вы­со­та CH из вер­ши­ны пря­мо­го угла C. В тре­уголь­ни­ки ACH и BCH впи­са­ны окруж­но­сти с цен­тра­ми O₁ и O₂ со­от­вет­ствен­но, ка­са­ю­щи­е­ся пря­мой CH в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AO₁ и CO₂ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка MO₁NO₂, если AC  =  20 и BC  =  15.

Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке.