В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, CH  — вы­со­та, Най­ди­те BH.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC угол A равен °. BD и CE  — вы­со­ты, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке O. Най­ди­те угол DOE. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Пло­щадь боль­шо­го круга шара равна 41. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти шара.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­но, что DB₁  =  21, CD  =  16, B₁C₁  =  11. Най­ди­те длину ребра BB₁.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции вида Най­ди­те зна­че­ние f(3).

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке  О. Точки М и N  — се­ре­ди­ны ребер АВ и ВС со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α, про­хо­дя­щая через точку О па­рал­лель­но пря­мым B₁M и C₁N, делит ребро BB₁ в от­но­ше­нии 1 : 1.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C₁ до плос­ко­сти α, если AB  =  6, BC  =  4 и AA₁  =  3.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC с пря­мым углом С про­дол­же­ние бис­сек­три­сы СK этого тре­уголь­ни­ка (точка К лежит на ги­по­те­ну­зе AB) пе­ре­се­ка­ет его опи­сан­ную окруж­ность в точке L. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку L и се­ре­ди­ну ги­по­те­ну­зы AB, пе­ре­се­ка­ет вто­рич­но опи­сан­ную окруж­ность тре­уголь­ни­ка АBC в точке М и пе­ре­се­ка­ет катет ВС в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая МK яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ВМР.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка МКР, если AC  =  3 и BC  =  4.

Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.