Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 43 и 73. Ко­си­нус остро­го угла тра­пе­ции равен Най­ди­те бо­ко­вую сто­ро­ну.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC угол A равен °. BD и CE  — вы­со­ты, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке O. Най­ди­те угол DOE. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 144, а длина об­ра­зу­ю­щей  — 75. Най­ди­те вы­со­ту ко­ну­са.

Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, опи­сан­ной около ци­лин­дра, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен а вы­со­та равна 4.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций и ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки B.

В ос­но­ва­нии пря­мой тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с ги­по­те­ну­зой AB, рав­ной вы­со­та приз­мы равна

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы плос­ко­стью BCM, где M  — се­ре­ди­на ребра A₁C₁, яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ной тра­пе­ци­ей.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C₁ до плос­ко­сти BCM.

От­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны M и N ос­но­ва­ний BC и AD со­от­вет­ствен­но тра­пе­ции ABCD, раз­би­ва­ет её на две тра­пе­ции, в каж­дую из ко­то­рых можно впи­сать окруж­ность.

а)  До­ка­жи­те, что тра­пе­ция ABCD рав­но­бед­рен­ная.

б)  Из­вест­но, что ра­ди­ус этих окруж­но­стей равен 3, а мень­шее ос­но­ва­ние BC ис­ход­ной тра­пе­ции равно 8. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся бо­ко­вой сто­ро­ны AB, ос­но­ва­ния AN тра­пе­ции ABMN и впи­сан­ной в неё окруж­но­сти.

Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.